常德市第一中学2015届高三上学期第五次月考

数学（文）试题

一、选择题（本题包括10小题，每小题5分，共50分。每小题只有一个选项符合题意）

1. 若
，则（???? ）

A.
B.
C.
D.

2. 下列四个命题中，假命题为（ ? ? ?）

A.
，
B.
，

C.
，
D.
，

3. 甲、乙两位歌手在“中国好声音”选拔赛中,5次得分情况如茎叶图所示,记甲、乙两人的平均得分分别为
、
,则下列判断正确的是（　 　）

A.
，甲比乙成绩稳定 B.
，乙比甲成绩稳定

C.
，甲比乙成绩稳定 D
，乙比甲成绩稳定

4. 如下图，在矩形
中，点
为边
上任意一点，现有质地均匀的粒子散落在矩形
内，则粒子落在
内的概率等于（ ? ? ?）

A.
B.

C.
D.

5. 某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为
?的正方形，该正三棱柱的表面积是( ? ? ? ? )

A.

B.

C.

D.

6. 要得到一个奇函数，只需将函数
?的图象（ ? ? ）

A. 向左平移
个单位 B. 向右平移
个单位

C. 向右平移
个单位 D. 向左平移
个单位

7. 已知双曲线
的一条渐近线的斜率为
，且右焦点与抛物线
的焦点重合，则该双曲线的离心率等于（ ）

A．
B．
C．2 D．2

8. 若实数x，y满足
，如果目标函数
的最小值为
，则实数m=( )

A. 0 B. -8 C. 4 D. 8

9.
(其中
、
为正数)，若
∥
，则
的最小值是( ? ? )

A.
B.
C.
D.

10. 设定义域为
的单调函数
，对任意的
，都有
,若
是方程
的一个解，则
可能存在的区间是（ ）

A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)

二、填空题（本题包括5小题，每空5分，共25分）

11．i是虚数单位，复数
的虚部为_________.

12. 在极坐标系中，圆
的直角坐标方程为 ______.

13. 如图1，程序结束输出
的值是 ______

14. 已知函数
为偶函数，且
，若函数
，则
______.

15. 对任意的
都有
,且
满足
,则

(1)
; (2)
.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，“动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：(单位：人)

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若从“模拟联合国”与“话剧”社团已抽取的人中选
人担任指导小组组长，求这
人分别自这两个社团的概率．

17. 已知
是正数组成的数列，
，且点
在函数
的图象上

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求数列
的前
项和.

18. 如图，在三棱柱
?中，已知?
，
?，
?与平面?
所成角为
?，
平面
。

?? （Ⅰ）求证：
?；

? ?（Ⅱ）求三棱锥?
的高。

19．如图，正三角形
的边长为
，
，
，
分别在三边
，
和
上，且
为
的中点，
，
，
.

（1）当
时，求
的大小；

（2）求
的面积
的最小值及使得
取最小值时的
值。

20. 已知平面内一动点
到点
的距离等于它到直线
的距离.

(Ⅰ)求动点
的轨迹
的方程;

(Ⅱ)若直线
与曲线
交于
两点,且
,又点
,求
的最小值.

21. 已知函数

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若函数
在
处取得极值，不等式
对
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）当
时，证明不等式

常德市一中2015届高三第三次月考试卷

数学（文）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

D

B

B

C

C

A

B

D

D

B



二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11.__—1_______; 12.__
_____; 13._____ 91______________; 14.____2014__; 15. (1) 2 ,(2) 19 _.

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 为了更好地开展社团活动，丰富同学们的课余生活，现用分层抽样的方法从“模拟联合国”，“街舞”，“动漫”，“话剧”四个社团中抽取若干人组成校社团指导小组，有关数据见下表：(单位：人)

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若从“模拟联合国”与“话剧”社团已抽取的人中选
人担任指导小组组长，求这
人分别自这两个社团的概率．

答案： (Ⅰ)由表可知抽取比例为
，故
，
，?
………6分

(Ⅱ)设“模拟联合国”
人分别为
；?
“话剧”
人分别为
.则从中任选
人的所有基本事件为，
，共
个．? ……8分

其中
人分别自这两个社团的基本事件为
，共
个．…….10分

所以这
人分别自这两个社团的概率
…….12分

17. 已知
是正数组成的数列，
，且点
在函数
的图象上

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）若数列
满足
，求数列
的前
项和.

答案：（Ⅰ）由已知得
?……..3分?

根据等差数列
的定义是首项为
，公差为
的等差数列 ? ? ??

所以
?……..6分? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

（Ⅱ）由已知

???????????????? ……①

???????????? ……②

①－②得

…..12分

18. 如图，在三棱柱
?中，已知?
，
?，
?与平面?
所成角为
?，
平面
。

（Ⅰ）求证：
?；

? ?（Ⅱ）求三棱锥?
的高。

证明：（Ⅰ）证明：连接
?，因为?
平面
，所以
。因为
，所以
…..2分

? 因为
，
，所以
，即
…..4分

因为
?，所以
平面
所以
…..6分

（Ⅱ）解：因为
,H=
…..12分

19．如图，正三角形
的边长为
，
，
，
分别在三边
，
和
上，且
为
的中点，
，
，
.

（1）当
时，求
的大小；

（2）求
的面积
的最小值及使得
取最小.

答案：（1）
；（2）当
时，
取最小值
.

分析：在
中，由正弦定理得
，…..2分

在
中，由正弦定理得
．??…..4分

由
，得
，整理得
，…..5分

所以
．?????????……?6分

（2

?……?10分

当
时，
取最小值
．????……?12分

20. 已知平面内一动点
到点
的距离等于它到直线
的距离.

(Ⅰ)求动点
的轨迹
的方程;

(Ⅱ)若直线
与曲线
交于
两点,且
,又点
,求
的最小值.

(Ⅰ)依题知动点
的轨迹是以
为焦点,以直线
为准线的抛物线,……1分

所以其标准方程为
…………………………4分

(Ⅱ)设
,则

因为
,所以

即
（※）………………………6分

又设直线
,代入抛物线
的方程得,

所以
,且
…………………8分

也所以
,

所以（※）式可化为,
,

即
,得
,或
………………… ……10分

此时
恒成立.

,且
,

所以

由二次函数单调性可知,当
时,
有最小值
.………13分

21. 已知函数

（1）讨论函数
的单调性；

（2）若函数
在
处取得极值，不等式
对
恒成立，求实数
的取值范围；

（3）当
时，证明不等式

21.解：（1）函数的定义域是
且
……………（1分）

当
时，
，从而
，函数
在
上单调递减；

当
时，若
，则
，从而
；

若
，则
，从而
，

所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增. ……………（4分）

（2）由（1）可知，函数的极值点是
，若
，则
.

若
在