一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题只有一个选项符合题目要求）

1.已知集合
，
，则集合
=（ ）.

A．
B．
C．
D．

2. 函数
的定义域是（ ）.

A．
B．
C．
D．

3.设数列
中，
，且
是公差为1的等差数列，则
（ ）.

A．3 B．4 C．6 D．7

4.为了研究“晚上喝绿茶与失眠”有无关系，调查了100名人士，得到下面列联表：

状况

有无喝茶

失眠

不失眠

合计



晚上喝绿茶

15

35

50



晚上不喝绿茶

4

46

50



合计

19

81

100





由已知数据可以求得：
,则根据下面临界值表：

0．050

0． 010

0．001





3．841

6．635

10．828



可以做出的结论是（ ）

A．在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”

B．在犯错误的概率不超过0．01的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”

C．在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠有关”

D．在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为“晚上喝绿茶与失眠无关”

5.若
满足约束条件
，则
的最大值为（ ）.

A．
B．
C．2 D．4

6.函数
（
）的值域为（ ）

A．
B．
C．
D．

7.已知某三棱锥的三视图均为腰长为2的等腰直角三角形（如图），则过该棱锥所有顶点的球的表面积为（ ）

A．
B．

C．
D．

8.已知圆A的半径为10，圆心A（
），M是圆A上的任意一点，且点B（
），线段MB的垂直平分线
和半径MA交于点C，当点M在圆上运动时，点C的轨迹是（ ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

9. 对于
，定义运算
，若
，
，则实数的取值范围是( )

A．
B.
C．
D．

10. 过抛物线
上一定点

，作两条直线
分别交抛物线于
，
，当直线MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，
的值是（ ）

A．
B.
C．
D．

二、填空题 （共25分）

11.已知
,向量
，
，且
∥
，则
=

12. 若双曲线C:
的一条渐近线与直线
垂直，则双曲线C的焦距为

（其中，
，
），那么今后为了获得最大利润，该商品的的单价应定为 元.

14.已知
，抛物线
的焦点为F（
），直线
经过点F且与抛物线交于
点，且
，则线段
的中点到直线
的距离为

15.在平面直角坐标系中，定义
为两点
的“直角距离”，已知直线
经过点P(
)，倾斜角为，且
，在直线
上截取线段
（
），则原点
与线段
上一点的“直角距离”的最小值与最大值之和是

三、解答题（共75分）

16. （本题12分）某商业集团对所属的200家连锁店进行评估，并依据得分（最低60分，最高100分，可以是小数）将其分别评定为A、B、C、D四个等级，评估标准如下表：

评估得分

[60,70)

[70,80)

[80,90)

[90,100)



评定类型

D

C

B

A



现将各连锁店的评估分数进行统计分析，并将其画成频率分布直方图如下.

（1）请补全频率分布直方图（画出[70,80)那组对应的小长方形并标上对应高度）

（2）现欲用分层抽样的方法从这200家连锁店中抽取40家作为代表进行座谈会，试问其中A、D类连锁店分别应抽取多少家？

（3）试根据频率分布直方图估计这200家连锁店评估得分的中位数（结果保留一位小数）.

17. （本题12分）设△ABC的内角A、B、C所对的边记作
，且
.

（1）当
时，求角B的大小及
的值；

（2）若△ABC的面积为3，试求边
的大小.

18．（本题12分）如图，在横放得四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，∠DAE=90°,且△ABE是等腰直角三角形，其中∠BAE=90°，连接AC、BD交于点O.

(1)求证：BD⊥平面AEC；

(2)若二面角A-BD-E的大小为60°，且直线EC与平面ABCD所成的角为
，求
.

19. （本题13分）某市现行出租车收费标准如下：不考虑其他因素下，每次运行起步价为（包括燃油附加费在内）4里内5元（不含4里），满4里后的续程运行价为每里跳表计费1元。（1）若某乘客坐出租车行驶了
（
）里，他应付给司机的费用（元）记作
，求
（
）的表达式.

（2）令
，构造函数
，
，若对任意
,都有
恒成立,试求
的取值范围.

20. （本题13分）已知以椭圆C:
的短轴为直径，以原点为圆心的圆与直线
相切，且椭圆椭圆C的离心率为
.

（1）求椭圆C的方程；

（2）若
是椭圆C上的两点，且
轴，
，连接直线
交椭圆C于另一点（不同于点），试分析直线
与轴是否相交于定点？若是，求出定点坐标；若不是，请加以证明.

21. （本题13分）已知函数
，
，其中为实数.

（1）令
，求函数
的单调增区间；

（2）若对定义域内的所有，函数
的图象都不可能在
的图象的下方，求实数的取值范围；

(3)对任意的正整数
，试比较代数式
与
的大小关系并证明.

【答案请写在“答题卷”上】

常德一中2015届高三第四次月考 文 科 数 学（参考答案）

二、填空题 （共25分）

11.
12.
. 13.
14.
15.

第15题解析：可求得直线
的方程：
，设
是线段
上任一点，代入则有：
，那么
，构造函数
（
）

即
，画图，可知当
时，有
；当
，有
，

三、解答题 （共75分）

16. 解析：

（1）（0.015+0.020+0.025）×10=0.60，第二个小长方形的高为0.040，频率分布直方图如，小长方形的高度为0.040. -------4分

（2）A、B、C、D类连锁店的个数为50、40、80、30，按1/5的比例，A、D类连锁店分别应抽10、6家. -------8分

（3）前两个小长方形的面积分别为0.15、0.4，故中位数应在[70,80)中，设中位数为，那么：

，得

故中位数是78.75， 约为78.8 -------12分

17. 解析：（1）
由正弦定理得
，----2分

而
，故
,B=30° -----------------4分

-----------6分

(2)
又
--------8分

解方程组得:
----12分

19. 解析：（1）易知
，
时，
构成等差数列，公差为1， ----2分

故当
时，
------5分

（2）由已知
构成等差数列，即
，
-------6分

故
， -----------8分

-------10分

故
随的增大而增大， 其最小值为
，

由已知，应有
，即
-----13分

20.解析：（1）
，直线
即
，
， --------2分

可得
，椭圆C：
， --------4分

（2）显然直线
有斜率，设其方程为
，联立
得到：

（＊）

设
，
，则有
，
--------6分

又易知点
，故直线
与轴相交于点，设直线
的方程为：
，令
，得到：

，即

又
，
，代入上式，有

--------8分

将上面韦达定理代入，化简得到：

故直线
与轴是否相交于定点（1,0） --------13分

21. 解析：

（1）
，
，---2分

分析可知

①当
时，
在
上递增；

②当
时，
在
及
上递增；

③当
时，
在
上递增；

④当
时，
在
及
上递增. ------4分

（2）令
，
，由（1）知

①当
时，
在
上递减；在
上递增，
，得
；

②当
时，此时有
，不合题意；

③当
时，同理，有
，不合题意；

④当
时，同理，有
，不合题意.

综上，应有
-----------7分