（时间：120分钟，满分：150分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设复数满足
，则
(　　)

A．
　　　B.
C.
D.

2．设集合
，
，若
，则的取值范围是 ( )

A．
B．
C．
D．

3．设平面与平面
相交于直线，直线在平面内，直线
在平面
内，且
，则
是
的 （ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．设
是等差数列
的前n项和，若
( )

A． B． C．
D．

5．若变量、满足约束条件
，则
的最大值是（ ）

A.7 B.4 C.2 D.8

6．直线
的倾斜角的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

7．已知函数
，
的图像与直线
的两个相邻交点的距离等于，则
的一条对称轴是 （ ）

A．
B．
C．
D．

8. 已知体积为
的正三棱柱（底面是正三角形且侧棱垂直底面）的三视图如图所示，则此三棱柱的高为( )

　A.
B.
C．1 D.

9. 下列说法错误的是 ( )

A．命题“若
，则
”的否命题是：“若
，则
”

B．如果命题“
”与命题“或”都是真命题，那么命题一定是真命题.　　

C．若命题：
，则
；

D．“
”是“
”的充分不必要条件；

10．函数
在定义域上的导函数是
，若
，且当
时，
，设
、
、
，则 ( )

A．
B．
C．
D．

11．若定义在R上的偶函数
满足
，且当
时，
，则函数
的零点个数是 ( )

A．0 B．2 C．4 D．8

12. 设
若直线
与圆
相切，则
的取值范围是(　　)

A．[1－，1＋ ] B．(－∞，1－ ]∪[1＋，＋∞)

C．[2－2，2＋2 ] D．(－∞，2－2 ]∪[2＋2，＋∞)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

13．已知正方形
的边长为2，为
的中点，则
＝________。

14．已知
直线
，则直线
斜率的取值范围________。

15．
函数
，则
的值等于

16. 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时写出证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知向量
，
，函数
．

（Ⅰ）求函数
的对称中心；

（Ⅱ）在
中，
分别是角
的对边，且
，
，
，且
，求
的值．

18．（本小题满分12分）

已知等差数列
的前和
，且满足
，

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，数列
的最小项是第几项，并求出该项的值

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，

AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1.

（Ⅰ）证明PC⊥AD；

（Ⅱ）求二面角A-PC-D的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所

成的角为30°，求AE的长.

20．（本小题满分12分）

数列
满足：
，
且

（Ⅰ）求数列
的通项公式；

（Ⅱ）求数列
的前项和
.

21．（本小题满分12分）

已知函数

（Ⅰ）若
，求函数
的单调区间；

（Ⅱ）若函数
的图象与函数
的图象在区间
上有公共点，求实数的取值范围．

22．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲

已知函数
,
,
．

（I）当
时,解不等式:
；

（II）若
且
,证明：
，并说明等号成立时满足的条件。

河南省2012级联考期中试题文科数学答案

∴
即：

将
代入k式可得：
解之得：

∴

∴

……12分

18．

19．

20．解：(Ⅰ)

又
, 数列
是首项为4,公比为2的等比数列. 既
所以
…………6分

（Ⅱ）. 由(Ⅰ)知：

令
赋值累加得
,

∴
……………………12分

21．解：（Ⅰ） ∵
， ∴
且
．

又∵
，

∴
． ∴
在点
处的切线方程为：
，即
．……… 4分

（Ⅱ）

（i）当
，即
时，由
在
上是增函数，在
上是减函数，∴当
时，
取得最大值，即
．

又当
时，
，当
时，
，

当
时，
，所以，
的图像与
的图像在
上有公共点，等价于
，解得
，

又因为
，所以
． ………………8分

（ii）当
，即
时，
在
上是增函数，

∴
在
上的最大值为
，

∴原问题等价于
，解得
，又∵
∴无解

综上，的取值范围是
． ……………… 12分

22．解: (Ⅰ)因为
,所以原不等式为
.

当
时, 原不等式化简为
,即
；

当
时, 原不等式化简为
,即
；

当
时, 原不等式化简为
,即
.

综上,原不等式的解集为
. ……………5分

（Ⅱ）由题知
,


，所以
,8分

又等号成立当且仅当
与
同号或它们至少有一个为零. ……10分