1．设集合
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．复数
（为虚数单位），则复数的共轭复数为( )

A．
B．
C．
D．

3．设向量
，则下列结论中正确的是( )

A．
B．
C．
D．

4．下列关于命题的说法错误的是( )

A．命题“若
，则
”的逆否命题为“若
，则
”；

B．“
”是“函数
在区间
上为增函数”的充分不必要条件；

C．若命题：
，则
：
；

D．命题“
”是真命题．

5．右图是一容量为
的样本的重量的频率分布直方图，

则由图可估计样本的重量的中位数为( )

A．11 B．11.5

C．12 D．12.5

6．现有四个函数：①
；②
；③
；④
的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )

A．①④③② B．①④②③　 C．④①②③　 D．③④②①

7．对于平面、
、和直线、、、,下列命题中真命题是( )

A．若
则
B．若
,则

C．若
则
D．若
,则

8．点
与圆
上任一点连线的中点的轨迹方程是( )

A．
B．

C．
D．

9．已知函数
，其中为自然对数的底数，若关于的方程
，有且只有一个实数解，则实数的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

10．某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的表面积为( )

A．
B．
C．
D．

11．已知
为如图所示的程序框图输出的结果，则二项式
的展开式中的常数项是( )

A．-20 B．20 C．-540 D．540

12．设等差数列
满足：
，公差
．若当且仅当
时，数列
的前项和
取得最大值，则首项
的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．用数学归纳法证明：
（
）时，从“
”时，左边应增添的代数式为_______________.

14．已知正项等比数列
满足
，若存在两项
使得
，

则
的最小值为 .

15．已知椭圆
，椭圆的中心为坐标原点
，点是椭圆的右焦点，点是椭圆短轴的一个端点，过点的直线
与椭圆交于
两点，与
所在直线交于点，若
，则
__________.

16.对于定义在上的函数
，若存在距离为
的两条直线
和
，使得对任意
都有
恒成立，则称函数
有一个宽度为
的通道.给出下列函数：

①
；②
；③
；④

其中在区间
上通道宽度可以为1的函数有 (写出所有正确的序号).

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。其中第17题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22题～第24题为选考题，考生根据要求任选一题作答。并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号方框涂黑。注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡指定位置答题。如果不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答的第一题评分。

17．（本小题满分12分）

在
中，已知
，且cos2A+2sin

=1．

(1)求角的大小和
边的长；

(2)若点在
内运动（包括边界）,且点到三边的距离之和为d,设点到
的距离分别为x,y，试用x,y表示d，并求d的取值范围.

18．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．

（1）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率；

（2）记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望.

19．（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，已知
，
，
，
.

(1)求证：
；

(2)设
(0≤?≤1)，且平面
与
所成的锐二面角的大小为30°，试求?的值.

20．(本小题满分12分）

已知抛物线y2=2px (p>0)上点T(3，t)到焦点F的距离为4．

(1)求t，p的值；

(2)设A、B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且
（其中 O为坐标原点）．

(ⅰ)求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；

(ⅱ)过点P作AB的垂线与抛物线交于C、D两点，求四边形ACBD面积的最小值．

21.（本小题满分12分）

已知函数
在
处的切线与直线
垂直，函数
．

(1)求实数的值；

(2)若函数
存在单调递减区间，求实数b的取值范围；

(3)设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值．

22．（本小题满分10分）(选修4-1几何证明选讲)

如图，已知
切⊙
于点，割线
交⊙
于
两点，∠
的平分线和
分别交于点
.

求证：(1)
；

(2)

23．（本小题满分10分）(选修4-4极坐标与参数方程选讲)

在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的极坐标方程分别为
，
＝
．

(1)求C1与C2交点的极坐标；

(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为
(t∈R为参数)，求a，b的值．

24．(本小题满分10分）（选修4-5不等式选讲）

设函数
．

求证：（1）当
时，不等式
成立．

（2）关于的不等式
在R上恒成立，求实数的最大值．

12月调研考数学理答案

17 (1)A=
BC=

(2)

(用线性规划)

18.

∴
……………12分

19.解：（1）因为侧面

,
侧面
，故
,在
中,

由余弦定理得：

，

所以
，

故
,所以
,而
平面

（2）由（1）可知，
两两垂直.以为原点，
所在直线为

轴建立空间直角坐标系.

则
，
,
.

所以
,所以
,

则
. 设平面
的法向量为
，

则由
,得
,即
，

令
，则
是平面
的一个法

向量.

侧面
,
是平面
的一个法向量，

.

两边平方并化简得
，所以
=1或
（舍去）

(ⅱ)由(ⅰ)得
，

同理得
，

则四边形ACBD面积

令
，则
是关于的增函数，

故
.当且仅当
时取到最小值96. …………………………………… 12分

(3)
，所以令

所以设


，所以
在
单调递减，


，

故所求的最小值是
…………12分

9分

10分

24解 (1) 证明：由

得函数
的最小值为3，从而
，所以
成立. (5分)

(2) 由绝对值的性质得
，

所以
最小值为
，从而
，解得
，因此的最大值为
.