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2015届高三年级第一次联考 数学理试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题 共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1．i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第三象限，则实数k的范围是（ ） A． B． C． D． 2.若集合，则中元素个数为 （ ）:gkstk.Com][来源:学优高考网gkstk] A .6个 B.4个 C . 2个 D. 0个 3.“”是“”的（ ） A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4.若a、b是任意实数，且a>b，则下列不等式恒成立的是( ) A. B. C. D. 5.根据如下样本数据： 2 3[来源:学 4 5 6 7 -4.0 -2.5 0.5 1 2.0 3.0 得到的回归方程为，则（ ） A. , B. , C. , D. , 6.使得的展开式中含有常数项的最小的是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 7.将5名大学生分配到3个乡镇去任职,每个乡镇至少一名,不同的分配方案种数为( )[来源:学优高考网gkstk] A.150 B.240 C.60 D.120 8.设函数在R上可导，其导函数为，且函数在处取得极大值，则函数的图像可能是（ ）[来源:学优高考网gkstk] 9.在四棱锥底面ABCD为梯形， 满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（ ） A．圆的一部分 B．线段 C．抛物线的一部分 D．椭圆的一部分 10.已知函数与图象上存在关于轴对称的点， 则的取值范围是（ ）[来源:学。科 A. B. C. D. 第II卷（非选择题 共100分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.） 11.已知随机变量,若，则 . 12．给出下列等式：；； ，…… 由以上等式推出一个一般结论：对于= . 13．如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在抛物线 及圆的实线部分上运动，且总是平行于 轴，则的周长的取值范围是 _. 14．已知函数，当时，给出下列几个结论： ①；②； ③;④当时，. 其中正确的是 （将所有你认为正确的序号填在横线上）． 三、选做题（考生只能从中选一题，两题都做的，只记前一题的分.本小题5分） 15.（1）（不等式选做题）若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是 . （2）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线与曲线（t为参数）相交于A、B两点，则线段AB的中点的直角坐标为 . 四、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤.） 16. （本小题满分12分） 已知，求： （1）； （2）. 17.（本小题满分12分） 已知函数 （1）设曲线在处的切线与直线垂直，求的值；[来源:学优高考网] （2）若对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 18. （本小题满分12分） 如图1,在直角梯形中,,,, 为线段 的中点.将沿折起,使平面平面,得到几何体,如图所示. (1) 求证:平面； (2) 求二面角的 余弦值. 19．（本小题满分12分） 某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰.已知选手甲答对每个题的概率均为，且相互间没有影响. （1）求选手甲进入复赛的概率； （2）设选手甲在初赛中答题的个数为，试求的分布列和数学期望. 20. （本小题满分13分） 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍,且经过点,平行于OM的直线l在y轴上的截距为m（），l交椭圆于A、B两个不同点. （1）求椭圆的方程； （2）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. 21. （本小题满分14分） 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）若函数的图像在点处的切线的倾斜角为，问：在什么范围取值时对于任意的，函数在区间上总存在极值； （3）当时，设函数，若在区间上至少存在一个，使得成立，试求实数的取值范围． 2015届高三年级第一次联考数学（理）参考答案 一、选择题 1-5: B B B D C 6-10: B A D A B 二、填空题 11. 16 12． 13． 【解析】易知圆的圆心坐标为，则圆心为抛物线的焦点，圆与抛物线在第一象限交于点， 作抛物线的准线，过点作垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可知 ，则，当点位于圆与轴的交点时，取最大值，由于点在实线上运动，因此当点与点重合时，取最小值为，此时与重合，由于、、构成三角形，因此，所以，因此的周长的取值范围是. ，又因为f（x）在（，+∞）递增，所以时，即，所以时，，故为增函数，所以，所以，故④正确. 三、选做题 15.（1）；（2） 17. 【解析】 解：（1）， 因此在处的切线的斜率为， 又直线的斜率为， ∴（）＝－1， ∴ ＝－1. …………6分 （2）∵当>0时，恒成立， 则恒成立， 设＝，则＝， …………8分 当∈(0,1)时，＞0，在(0,1)上单调递增， 当∈(1,＋∞)时，＜0，在(1,＋∞)上单调递减， …………10分 故当＝1时，取得极大值，， ∴ 实数的取值范围为． …………12分 18. 【解析】 （1）由已知可得,从而,故 …………3分 ∵面面,面面,面,从而平面 …………6分 （2）建立空间直角坐标系如图所示,则, , , 设为面的法向量, 则即,解得 令,可得 …………9分 又为面的一个法向量 …………10分 ∴ ∴二面角的余弦值为. …………12分 19. 【解析】 (1）设选手甲答对每个题的概率为，则，设“选手甲进入复赛”为事件，则选手甲答了3题都对进入复赛概率为：； …………2分 或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛 ， …………4分 或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛
选手甲进入复赛的概率 …………6分 (2)的可能取值为3,4,5，对应的每个取值，选手甲被淘汰或进入复赛的概率 …………9分 的分布列为： X 3 4 5 P …………10分 …………12分 20. 【解析】 解：（1）设椭圆方程为 则 …………4分 ∴椭圆方程为 …………6分 （2）设直线MA、MB的斜率分别为，只需证明即可 …………7分 设 直线 则 联立方程 得 …………9分 …………11分 而 所以 故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. …………13分 21. 【解析】 解：（1）由知： 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； 当时，函数的单调增区间是，单调减区间是； …………4分 （2）由, ∴，. …………6分 故， ∴, ∵ 函数在区间上总存在极值， ∴有两个不等实根且至少有一个在区间内 …………7分 又∵函数是开口向上的二次函数，且，∴ …………8分 由，∵在上单调递减，所以；∴，由，解得； 综上得： 所以当在内取值时，对于任意的，函数在区间上总存在极值。 …………9分 （3）令，则 . 时，由得，从而, 所以，在上不存在使得； …………11分 时，,，在上恒成立，故在上单调递增。 …………13分 故只要，解得综上所述， 的取值范围是 …………14分 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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