2014.12

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

一．选择题 (5*8=40分)

1．设集合A＝{(x，y)|＋＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则A∩B的子集的个数是(　　)

A．4 B．3 C．2 D．1

2．
的值为（ ）

A .-2 B .–l C.
D .1

3．已知，
，则“
”是“
”的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．已知函数
，则有（ ）

A．函数
的图像关于直线
对称 B．函数
的图像关关于点
对称

C．函数
的最小正周期为
D．函数
在区间
内单调递减

5．已知0

A.
B.
C.
D.

6．已知函数
，若
是
的导函数，则函数
在原点附近的图象大致是（ ）

7.已知函数
，若对任意的
，不等式
恒成立，则实数的取值范围是（ ）

8．已知关于的方程
在
有且仅有两根，记为
，则下列的四个命题正确的是（ ）

A．
B．

C．
D．

二．填空题（6*5=30分）

（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答。

9.已知
的值为______________.

10．如图是函数
在一个周期内的图象，则阴影

部分的面积是__________.

11．若
，则
的最大值为 ．

12.已知函数
，且
，则当
时，
的取值范围是_______________.

13．设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号有　_________　．（把所有的真命题全填上）

①x为直线，y，z为平面；②x，y，z都为平面；③x，y为直线，z为平面；

④x，y，z都为直线；⑤x，y为平面，z为直线．

（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计前一题的得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，倾斜角为
的直线
与曲线
，（ 为参数）交于、两点，且
，以坐标原点
为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线
的极坐标方程是________.

15．（几何证明选讲选做题）已知⊙O1和⊙O2交于点C和D，⊙O1

上的点P处的切线交⊙O2于A、B点，交直线CD于点E，M是

⊙O2上的一点，若PE=2，EA=1，
，那么⊙O2的半

径为 .

三.解答或证明题

16．（满分12分）已知锐角
中内角
的对边分别为
，且
，

向量
,

,且
∥
.

（１）求的大小； （２）若
，求
的值.

17．(13分)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。

(Ⅰ)从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；

(Ⅱ)一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”(每次操作完成后将球放回)，某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为
，求
的分布列和数学期望。

18．（13分）

如图1，
是直角△
斜边上的高，沿
把△
的两部分折成直二面角（如图2），
于.

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）设
，
与平面
所 成的

角为，二面角
的大小为
，

试用
表示
；

（Ⅲ）设
，为
的中点，在线段

上是否存在一点，使得
∥平面
?

若存在，求
的值；若不存在，请说明理由．

19．(14分)如图，点P(0，?1)是椭圆C1：(a>b>0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2+y2=4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D．

（Ⅰ）求椭圆C1的方程；

（Ⅱ）求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．

20.（14分）如图,实线部分的月牙形公园是由圆上的一段优弧和圆
上的一段劣弧围成,圆和圆
的半径都是
，点在圆
上，现要在公园内建一块顶点都在圆上的多边形活动场地.

（1）如图甲，要建的活动场地为△
，求活动场地的最大面积；

（2）如图乙，要建的活动场地为等腰梯形
，求活动场地的最大面积；

21、（满分14分）函数的导数为
的点称为函数的驻点,若点
为函数
的驻点,则称
具

“
驻点性”.

（Ⅰ）设函数
,其中
.

① 求证:函数
不具有“
驻点性”；

② 求函数
的单调区间

（Ⅱ）已知函数
具有“
驻点性”,给定
,
,设
为实

数,且
,
,
,若
,求
的取值范围.



三.解答或证明题

16．（1）∵
∥
, ∴
……………………2分

∴
,即
……………………………………………3分

又
为锐角, ∴
, ∴
, ∴
………………………5分

（２）∵
,∴
……………………………………………………………6分

∴
………………………………………8分

又
,且为锐角，∴
…………………………………………10分

∴
……………………12分

17．(13分)

（Ⅰ）设从袋子中任意摸出3个球, 摸出的球均为白球的概率是

…4分

（Ⅱ）由一次”摸球成功”的概率
. …8分

随机变量
服从二项分布
,分布列如下 …12分

0

1

2

3
















…13分

18．（13分）（Ⅰ）∵
，∴
是二面角
的平面角.又∵二面角
是直二面角，∴
,∴
平面
，∴
，又
，∴
平面
，∴
.…………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）

,
.

又
，∴
.…………………8分

(Ⅲ)连接
交
于点
，连接
,则
∥
.

∵
,∴
,∴为
的中点，而为
的中点，∴
为
的重心,

∴
,∴
.即在线段
上是否存在一点，使得
∥
，

此时
.…………………………………………13分(也可建系完成)

19．(14分)

（Ⅰ）由题意得：

 ……………..2

椭圆C的方程为：

． ………………………..4

（Ⅱ）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为

y=kx?1． ……………………….5

又圆C2：x2+y2=4，故点O到直线l1的距离

d=， …………………6

所以

|AB|=2=2．……………7

又l1(l2，故直线l2的方程为

x+ky+k=0．

由



　 消去y，整理得

(4+k2)x2+8kx=0

故

x0=?．

所以

|PD|=． …………………..10

设△ABD的面积为S，则S=|AB|(|PD|=，

所以

S=(=， ………………12

当且仅当k=±时取等号 ………………..13

所以所求直线l1的方程为y=±x?1 ……………………………..14

20.（14分）

解：（Ⅰ）过
作
于
，

由题意，
在月牙形公园里，
与圆
只能相切或相离；

左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，则有
，

当且仅当
切圆
于时，上面两个不等式中等号同时成立。 （4分）

此时，场地面积的最大值为
(km2) …（5分）

（Ⅱ）
左边的部分是一个大小不超过半圆的弓形，以
为直径向左边作半圆，此半圆包含弓形，半圆的内接等腰梯形的面积的最大值不小于弓形内接等腰梯形的面积的最大值，要求场地面积的最大值，只需考虑
切圆
于时的情形， …… （7分）

设
，则有

…… （10分）

21、【解析】（Ⅰ）①
,因为
,

∴
不具有“
驻点性”.………2分

②
的定义域为
,由

(ⅰ) 当
,即
时,
, ∴
是
上的减函数；

(ⅱ) 当
,即
时,显然
≤0.∴
是
上的减函数；……………4分

(ⅲ) 当
,即
时,由
得
……………6分

当
时,
,所以
时,
,

时,
;

时,
.

当
时,
,

所以
时,
;
时,
.

综上所述:当
时,
的递减区间为
；

当
时,
的递减区间为
和
,

递增区间为
；

即
,所以
,

所以
,符合题设.

③ 当
时,
,