数学（理科）参考答案及评分标准

一、选择题

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

A

D

B

A

D

B

C





二、填空题

9．-2 10．1 11．240 12．[-2，3] 13．
14．1

三、解答题

15．（本小题满分12分）

证明：（1）小李这5天的平均投篮命中率为
. （4分）

（2）小李这5天打篮球的平均时间
（小时） （5分）

（7分）

（9分）

所以
（10分）

当x=6时，
，故预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. （12分）

16．（本小题满分12分）

证明：（1）在(PBC中，E是PC的中点，F是PB的中点，所以EF//BC. （1分）

又BC(平面ABC，EF(平面ABC，所以EF//平面ABC. （3分）

（2）因为AB是⊙O的直径，所以BC(AC. （4分）

在Rt(ABC中，AB=2，AC=BC，所以
. （5分）

因为在(PCB中，
，
，
，

所以
，所以BC(PC. （6分）

又PC∩AC=C，所以BC(平面PAC. （7分）

由（1）知EF//BC，所以EF(平面PAC. （8分）

（3）解：由（2）知BC(平面PAC，PA(平面PAC，所以PA(BC. （9分）

因为在(PAC中，
，
，
，

所以
，所以PA(AC. （10分）

又AC∩BC=C，所以PA(平面ABC.

所以(PCA为PC与平面ABC所成角. （11分）

在Rt PAC中，
，所以(PCA=
，即PC与平面ABC所成角的大小为
. （12分）

17．（本小题满分14分）

解：（1）依据日销售量的频率分布直方图可得众数为
. （3分）

（2）记事件A1：“日销售量不低于100个”， 事件A2：“日销售量低于50个”，事件B：“在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个”.

则
， （4分）

， （5分）

. （7分）

（3）X的可能取值为0，1，2，3.

， （8分）

， （9分）

， （10分）

， （11分）

分布列为

X

0

1

2

3



P

0.064

0.288

0.432

0.216



因为X(B（3，0.6），所以期望
， （12分）

方差
. （14分）

18．（本小题满分14分）

解：设每周生产空调器x台、彩电y台，则生产冰箱
台，产值为z千元，

则依题意得
， （4分）

且x，y满足
即
（8分）

可行域如图所示. （10分）

解方程组
得
即M（10，90）.

（11分）

让目标函数表示的直线
在可行域上平移，

可得
在M（10，90）处取得最大值，且

（千元）. （13分）

答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元. （14分）

19．（本小题满分14分）

（1）证明：因为
，
，

，所以
. （1分）

因为
，
，

，所以
. （2分）

又
，
，

，所以
. （3分）

又
，
，

所以EC//
. （4分）

（2）解：因为
，BC//AD，AD=2BC，所以
.

（6分）

所以
. （8分）

（3）解法一：如图，在
中，作
于F，连接
. （9分）

因为
(底面ABCD，
，

所以
.

又
，所以
.

又
，所以
. （10分）

所以
为二面角
的平面角. （11分）

由（2）得
，所以
. （12分）

所以
， （13分）

所以
，即二面角
的大小为
. （14分）

解法二：如图，以D为坐标原点，
分别为x轴和z轴正方向建立空间直角坐标系. （9分）

设
，BC=a，则AD=2a.

因为
，所以
.（10分）

所以
，
，

所以
，
. （11分）

设平面
的一个法向量
，

由
，得
，所以
.（12分）

又平面ABCD的一个法向量
， （13分）

所以
，所以二面角
的大小为
. （14分）

20．（本小题满分14分）

解：（1）令
，解得
，
. （1分）

①当
时，解原不等式，得
，即其解集为
；

（2分）

②当
时，解原不等式，得无解，即其解集为( ； （3分）

③当
时，解原不等式，得
，即其解集为
.

（4分）

（2）依
（*），令
（**），

可得
. （5分）

①当
时，
，此时方程（**）无解，解不等式（*），得
，故原不等式组的解集为
； （6分）

②当
时，
， 此时方程（**）有两个相等的实根
，解不等式（*），得
，故原不等式组的解集为
； （7分）

③当
时，
，此时方程（**）有两个不等的实根
，
，且
，解不等式（*），得
或
.

（8分）

，

（9分）

， （10分）

且
，

（11分）

所以当
，可得
；又当
，可得
，故
，（12分）

所以ⅰ）当
时，原不等式组的解集为
；

（13分）

ⅱ）当
时，原不等式组的解集为( . （14分）

综上，当
时，原不等式组的解集为( ；当
时，原不等式组的解集为
；当
时，原不等式组的解集为
；当
时，原不等式组的解集为
.