南通中学2015届高三12月月考数学

参考公式：

锥体的体积公式
，其中
表示锥体的底面积，
表示锥体的高.

柱体的体积公式
，其中
表示柱体的底面积，
表示柱体的高.

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答卷纸相应的位置上．）

1．设复数
、
在复平面内的对应点关于虚轴对称，
（
为虚数单位），则
▲ .

2．从甲、乙、丙、丁
位同学中随机选出
名代表参加学校会议，则甲被

选中的概率是 ▲ .

3．根据如图所示的伪代码，可知输出的
的值为 ▲ .

4．为了调查城市
的值，按地域把长三角地区
个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为
、
、
.若用分层抽样的方法抽取
个城市，则乙组中应抽取的城市数为 ▲ .

5．设集合
、
，则“
”是“
”的 ▲ 条件．充分不必要条件（从“充分不必要”、 “必要不充分”、“充分且必要”、“既不充分也不必要”中择一填写）

6．有一段演绎推理：

大前提：整数是自然数；

小前提：
是整数；

结论：
是自然数.这个推理显然错误，则错误的原因是 ▲ 错误.（从“大前提”、“小前提”、“结论”中择一填写）. 大前提

7．关于
的不等式
的解集为
，且
，则实数
的值等于 ▲ .

8．已知抛物线
的焦点是双曲线
（
）的右焦点，则双曲线的右准线方程为 ▲ .

9．设
、
满足约束条件
，且
的最小值为
，则实数
▲ .

10．在
中，点
是
的中点，角
，
，则
的最小值为 ▲ .

设
、
，由
，
得
，倍长
至
，则
，由余弦定理得
，即
，
即
最小值为
.

11．已知圆
和两点
、
（
），若圆上存在一点
，使得

，则
的最小值为 ▲ .

显然
，因为
，所以
，所以要求
的最小值即求圆
上点
到原

点
的最小距离，因为
，所以
，即
的最小值为
.

12．如图为函数
的部分图像，
是矩形，
、
在图像上，将此矩形（
边在第一象限）绕
轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为 ▲ .

得
为极大值点，且
，

设
、
的纵坐标为
，则由
得

，
，
，所以
[来源:学优高考网gkstk]

，


，

当且仅当
时取“
”，此时
，故旋转体体积的最大值为
.

13．设数列
为等差数列，数列
为等比数列．若
，
，且
（
，
，
），

则数列
的公比为 ▲ .

方法
：设
，
，
依次为
，
，
，因为
，所以
，因为
，所以
，

又
，所以
，则
或
（舍），所以

.若
，则
（舍）；若
，则
，所以
.

方法
易知
，则
，若
，则
（舍），若
，则

且
，所以
，所以
，则
，

又
且
，所以
.

14．已知函数
，且对任意的
，都有
恒成立，则实数
的取值范围是 ▲ .

因为
，所以对任意
，都有
即

恒成立，整理得
，令

，则
，问题等价于
对
恒成立，令

，因为
，所以
或

，即
或
，所以
或
，所以

或
.

另解
：由
得
，所以
或
，由题意得

或
即
或
.

另解
：由
得
，所以
或
，

因为
，所以
或
，由题意得
或
.

另解
：
，设
，则
，又
，所以

即
，即
，即

，所以
或
，因为
，所以由题意得

或
.

二、解答题：（本大题共6小题，共计90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本题满分14分）如图所示，
、
分别是单位圆与
轴、
轴正半轴的交点，点
在单位圆上，
（
），点
坐标为
，平行四边形
的面积为
．

（Ⅰ）求
的最大值；

（Ⅱ）若
∥
，求
．

【解析】（Ⅰ）∵
，
，∴
，

∴
，而
，

所以
，………………………………
分

∵
，∴当
时，
取得最大值为
；………………………
分

（Ⅱ）
，
，由
∥
得
，又
，结合

得
，
，
，
，……………………
分

所以

．……………………………………
分

16．（本题满分14分）如图，矩形
中，
，
，
、
分别在线段
和
上，[来源:学优高考网gkstk]

∥
，将矩形
沿
折起，记折起后的矩形为
，且平面

平面
．

（Ⅰ）求证：
∥平面
；

（Ⅱ）求四面体
体积的最大值．

（翻折前） （翻折后）

【解析】（Ⅰ）∵四边形
，
都是矩形，∴
∥
∥
，
，∴四边形
是平行四边形，∴
∥
，又∵
平面
，
平面
，∴
∥平面
；

………………………………………………………………………………………………
分

（Ⅱ）由（Ⅰ）易证
平面
，设
，则
，其中
．∴四面体
的

体积为

，当且仅当
，

即
时取“
”，故四面体
体积最大值为
．…………………………………………
分

17．（本题满分14分）如图，
为某湖中观光岛屿，
是沿湖岸南北方向道路，
为停车场，

，某旅游团浏览完岛屿后，乘游船回停车场
，已知游船以
的速度沿方位角
的方向行驶，
．游船离开观光岛屿
分钟后，因事耽搁没有来得及登上游