辽宁省实验中学分校2015届高三上学期期中考试数学（理）试题

第Ⅰ卷 选择题（共60分）

一、选择题：本大题12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合
（ ）

A.
B.
C.
D.

2、已知复数

是虚数单位，则复数
的虚部是( )

A．
B．
C．
D．

3、设
，则
，
，
的大小关系是（ ）

A．
B．
C．
D．

4、函数
的零点所在区间是（ ）

A．
 B．
 C．
 D．


5、下列选项叙述错误的是（ ）

A．命题“若
，则
”的逆否命题是“若
，则
”

B．若
为真命题，则
，
均为真命题

C．若命题
，则

D．“
”是“
”的充分不必要条件

6、要得到函数
的图象，只需将函数
的图象（ ）

A.向左平移
个单位长度 B.向右平移
个单位长度

C.向左平移
个单位长度 D.向右平移
个单位长度

7、若实数
满足条件
，则
的最大值是（ ）

A.8 B.7 C.4 D.2

8、已知
，则
的值是（ ）

A．
 B．
 C．
 D．


9、不等式
对任意
恒成立，则实数
的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10、执行如图所示的程序框图，如果输入的
，则输出的
属于（ ）

A.
B.
C.
D.

11、已知函数
是定义在R上的奇函数，
，当
时，有
成立，则不等式
的解集是

A．
B．
C．
D．

12、已知函数
，若存在实数
满足

其中
，则
的取值范围是（ ）

A．
 B．
 C．
 D．


第Ⅱ卷 非选择题（共90分）

注意事项：第Ⅱ卷全部是非选择题，必须在答题卡非选择题答题区域内，用黑色钢笔或签字笔作答，不能答在试卷上，否则答案无效。

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上。

13、已知
的定义域为
,则
的定义域是

14、已知
的展开式中
的系数为5，则


15、已知函数
，其中
为自然对数的底，则满足
的
的取值范围为

16、已知函数
，将函数
图象上所有点的横坐标缩短为原的
倍（纵坐不变），得到函数
的图象，则关于
有下列命题

①函数
是奇函数；

②函数
不是周期函数；

③函数
的图像关于点(π，0)中心对称；

④ 函数
的最大值为
. 其中真命题为____________

三、解答题：本大题共6个小题，总分70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、（本小题满分12分）

在
中，角
的对边分别为
，
.

（1）求

（2）若
,
，求
和
的值

18、（本小题满分12分）

现有4个人去参加春节联欢活动，该活动有甲、乙两个项目可供参加者选择。为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个项目的联欢，掷出点数为1或2的人去参加甲项目联欢，掷出点数大于2的人去参加乙项目联欢.

（1）求这4个人中去参加甲项目联欢的人数大于去参加乙项目联欢的人数的概率

（2）用
，
分别表示这4个人中去参加甲、乙项目联欢的人数，记
，求随机变量
的分布列与数学期望

19、（本小题满分12分）

函数
在一个周期内的图象如图所示,
为图象的最高点，
、
为图象与
轴的交点，且
为正三角形.

（1）求
的值及函数
的值域

（2）若
,且
,求
的值

20、（本小题满分12分）

已知函数
，
，其中
.

（1）讨论
的单调性

（2）设函数
，当
时，若
，
，总有
成立，求实数
的取值范围

21、（本小题满分12分）

已知函数

（1）求函数
的单调区间和极值

（2）若函数
对任意
满足
,求证：当
,

（3）若
，且
，求证：

请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.

答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22、（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图
是⊙
的直径，弦
、
的延长线相交于点
，
垂直
的延长线于点
．求证：

（1）
；

（2）

23、（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点
为极点，以
轴非负半轴为极轴，与直角坐标系
取相同的长度单位，建立极坐标系. 设曲线
参数方程为
（
为参数），直线
的极坐标方程为
.

（1）写出曲线
的普通方程和直线
的直角坐标方程；

（2）求曲线
上的点到直线
的最大距离.

24、（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数
.

（1）当
时，求函数
的定义域

（2）当函数
的值域为
时，求实数
的取值范围

数学答案----------理科

13、
14 、-1 15、 (0，1) 16、③

17、（1）
即
------- 3分

-------6分

18、(1)
----------------4分

(2)
----------------6分

----------------8分

----------------10分

 0

 2

 4














-----------------------------------------------12分

19、（1）由已知可得

=

又由于正三角形ABC的高为2
,则BC=4

所以,函数
---------4分

所以，函数
…………………………………6分

（2）因为
(1)有

由
，得

所以,
--------------8分

故

． --------------------------12分

20、（1）

当
时，
在
上为增函数

当
时，
在在
上为减函数，
上为增函数 --------4分

（2）由题可知，

当
时，

所以
的最大值为
-----------------7分

又

即
即
----------------10分

即
------------------------------12分

21、解：⑴∵
=
，∴
=
.　　　　　　　　　　　

令
=0，解得
.



2







＋

0

－





↗

极大值

↘



∴
在
内是增函数，在
内是减函数. 　　　　　　　　　　

∴当
时，
取得极大值
=
.　

无极小值 -----------------------------4分

⑵证明：
，
,

∴
=
.　　　　　　　　　　　

当
时，
＜0，
＞4，从而
＜0，

∴
＞0，
在
是增函数.

22、证明：⑴连结AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，　　

又EF⊥AB，∠EFA=90°，则A、D、E、F四点共圆，

∴∠DEA=∠DFA.　　------------------------------5分

⑵由(1)知，BD