第Ⅰ卷（选择题 共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1．已知全集为实数R，集合A=
，B=
，则
= （ 　 ）

A．
B．
C．
D．

2．设i为虚数单位，则复数z＝在复平面内对应的点位于(　 　　)

A．第一象限　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．函数f(x)＝的图象大致是(　　)

4．已知
，则 （ 　 ）

A．
B．

C．
D．

5．执行如图的程序框图，则输出的
值是( 　　 )

A．－2 B． 0 C． 2 D.－2或0

6．要得到函数
的图象，只需将

的图象(　 　　)

A．向左平移
个单位 B．向右平移
个单位

C．向左平移
个单位 D．向右平移
个单位

7．设α、β都是锐角且cosα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ＝(　　)

A. B. C.或 D.或

8．设x、y满足约束条件
，若
能成立 ，则的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

9．一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1，0，1)，(1，1，0)，(0，

1，1)，(0，0，0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)

10． 已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点，且双曲线过点(，)，则该双曲线的离心率是(　 　　)

A． B． C．  D. 2

11．
中，内角
所对边分别为
,且
则
等于

（ ） A．3 B．4 C．6 D．7

12．设f(x)是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f(1－x)＋f(1＋x)＝0恒成立，如果实数m，n满足不等式组，那么m2＋n2的取值范围是(　　)

A．[3，7] B．(9，25) C．[13，49] D．[9，49]

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分.把答案填在答题卷中的横线上)

13．已知正方形ABCD的边长为4，E是CD的中点，则
________．

14．如图，在边长为1的正方形OABC中任取一点P，分数以O、B为圆心，半径为画圆弧，点P在两圆之外的概率为________．

15．给出下列四个命题：

①“
”是“
”的必要不充分条件；② 若
，则函数
只有一个零点；③ 函数
的一个单调增区间是
；④ 对于任意实数，有
，且当
时，
，则当
时，
．

其中真命题的序号是　　　　　（把所有真命题的序号都填上）．

16．已知f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝则F(x)＝xf(x)－1在[－6，＋∞)上的所有零点之和为________．

三、解答题（本大题共6小题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（本小题满 分12分）已知数列
对任意
，满足
.

（Ⅰ）求数列
通项公式；（Ⅱ）若
，求
的通项公式及前项和.

18．（本小题满 分12分）

如图所示，已知直三棱柱
，
，
两两垂直,

分别是
的中点．

（Ⅰ）证明：
；

（Ⅱ）求四面体
的体积.

19． (本小题满分12分) 高台一中为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取80名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1）中身高在170~175cm的男生人数有16人。

（I）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？

（II）根据频率分布直方图，完成下列的2×2列联表，并判断能有多大（百分几）的把握认为“身高与性别有关”？

（Ⅲ）在上述80名学生中，从身高在170~175cm之间的学生按男、女性别分层抽样的方法，抽出5人，从这5人中选派3人当旗手，求3人中恰好有一名女生的概率。

参考公式：

参考数据：

20．（本小题满 分12分）

已知点
．

（Ⅰ）求P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点

与曲线C相交于
两点，并且曲线
上存在点
，使四边形
为平行四边形？若存在，求出直线
的方程；若不存在，说明理由.

21．（本小题满 分12分）

已知
（为自然对数）

（Ⅰ）当
时，求过点
处的切线与坐标轴围城的三角形的面积；

（Ⅱ）若
在(0,1 )上恒成立,求实数的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分,作答时请写清题号.

22．（本小题满 分10分）选修4-1：几何证明选讲

直线
交圆
于
两点，
是直径，
平分
，

交圆
于点，过作
于.

（Ⅰ）求证：
是圆
的切线；（Ⅱ）若
，求
的面积.

23．（本小题满 分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以原点O为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线C1的极坐标方程为
，直线l的极坐标方程为
.

（Ⅰ）写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；

（Ⅱ）设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值.

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）若不等式
对一切实数a，b，c恒成立，求实数的取值范围.

肃南一中2014-2015学年高三期中考试考试（文数） 答案

1.D 2.C 3. D 4.B 5.A 6.B 7. A 8.B 9.A 10.A 11.B 12. C

12．C　由题意得f(1－x)＝－f(1＋x)，则－f(x)＝

f(2－x)，

由f(m2－6m＋23)＋f(n2－8n)≤0，得f(m2－6m＋23)≤－f(n2－8n)，

即f(m2－6m＋23)≤f(2－n2＋8n)．

又f(x)在R上是增函数，∴m2－6m＋23≤2－n2＋8n，

即(m－3)2＋(n－4)2≤4.

在坐标平面mOn内画出不等式组的区域，则m2＋n2表示区域内的点(m，n)与(0，0)间的距离的平方，

当m＝3，n＝2时，m2＋n2有最小值为32＋22＝13.

m2＋n2在B点取得最大值为(＋2)2＝49.

13.18 14. 1－ 15. ①③④ 16. 8

16.解析：当x∈(0，2]时，f(x)＝2|x－1|－1，其值域为[0，1]．

当x∈(2，4]时，f(x)＝f(x－2)，其图象把x∈(0，2]的图象向右平移两个单位，并把纵坐标压缩到倍，其值域为[0，]，依次类推，x∈(4，6]，f(x)∈[0，]．x∈(6，8]，f(x)∈[0，]，…

且f(8)＝f(6)＝f(4)＝f(2)＝.

其图象如图，F(x)的零点即为方程xf(x)－1＝0的根，∴f(x)＝，可将问题转化为函数g(x)＝与y＝f(x)的图象交点问题，因g(x)＝与y＝f(x)都是奇函数，故两函数图象在区间[－6，6]上的交点的横坐标之和为0.

又∵y＝f(x)在(6，＋∞)上过点(8，)，∴g(x)＝过点(8，)．

由图象可知：y＝f(x)与g(x)＝在(6，＋∞)上只有一个交点(8，)，故所有零点之和为8.

答案：8

17.（1）由已知得
，

故数列
是等差数列，且公差
.　……………………………………………2分

又
，得
，所以
. …………… ……………………………4分

（2）由（１）得，
， …………… ……………………………6分

所以

. ……………………………………8分

. ………………………………12分

18. （1）如图连接
,
分别是
的中点,

故
是
的中位线，
，

又由
,
两两垂直知，

，又
面
,
面
，则

即
面
,则

，故
. …………6分

（2）由题易知

,
两两垂直,

过点做
的平行线交
于M，
,
,
,

故
. …………………………12分

19 【答案】（1）40,40；（2）能有99．9％的把握认为身高与性别有关；（3）
.

【解析】（1）由频率分布直方图先得身高在170 ~175cm的男生的频率为
；（2）
；（3）古典概型.

解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在170 ~175cm的男生的频率为
，

设男生数为
，则
，得
．………………………………………4分

由男生的人数为40，得女生的人数为80-40=40．

（Ⅱ）男生身高
的人数
，女生身高
的人数
，所以可得到下列二列联表：

≥170cm

<170cm

总计



男生身高

30

10

40



女生身高

4

36

40



总计

34

46

80



…………………………………………6分

，…………………………………7分

所以能有99．9％的把握认为身高与性别有关； …………………………………8分

（Ⅲ）在170～175cm之间的男生有16人，女生人数有人．

按分层抽样的方法抽出5人，则男生占4人，女生占1人． ………………………9分

设男生为
，女生为
．

从5人任选3名有:

,共10种可能， ……10分

3人中恰好有一名女生有:





共6种可能， ………………………11分

故所求概率为
． …………………………………………12分

20.（1）由
知道曲线
是以
为焦点的椭圆，且
，
，

所以曲线
的方程为
………………………………4分

（2）设
，由题意知
的斜率一定不为0，故不妨设
，代入椭圆方程整理得
，…………………5分

显然
则
①，…………………6分

假设存在点
，使得四边形
为平行四边形，其充要条件为
，则点
的坐标为
.由点
在椭圆上，即

整理得
………………………………8分

又
在椭圆上，即

故
②………………………………………………………9分

所以

将①②代入上式解得
………………………………………………………11分

即直线
的方程是：
，即
…………………………12分

21． (Ⅰ)当
时,
,

,

函数
在点
处的切线方程为
，即
… ………2分

设切线与x、y轴的交点分别为A,B.

令
得
,令
得
,∴
,
, …………………4分

. …………………5分

(Ⅱ)由
得
, …………………6分

令

,
…………………8分

令
,
, ∵
,∴
,
在
为减函数 ，∴
, 又∵
, ∴
……………10分

∴
在
为增函数,
, 因此只需
… …………12分

22.（I）连接
，则
，则
，……1分

∵
，∴
.