天水市一中2014—2015学年度第一学期2012级第三次考试试题

数学（文科）

命题：张永国 审核：张志义

一、选择题（本大题共12个小题，每个5分，共计60分）

1．已知全集
，
，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2．下列函数中，在（0，+
）上单调递增，并且是偶函数的是（ ）

A．
B.
C.
D.

3．已知
，那么
＝（ ）

A．
B.
C.
D.

4．若
为实数，则“
”是“
”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．已知向量
，若
与
共线，则
的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A.
B.
C.
D.

7．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ）

A．
B．
C．
D．

8．已知x，y满足不等式组
，则z＝2x＋y的最大值与最小值的比值为（ ）

A．
B.2 C.
D.

9．将
的图象向右平移
个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为（）

A．
B.
C.
D.
)

10．已知数列
是等差数列，若
，
，且数列
的前
项和
有最大值，那么
取得最小正值时
等于（ ）

A．20 B．17 C．19 D．21

11．在椭圆
中，
分别是其左右焦点，若椭圆上存在一点P使得
，则该椭圆离心率的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

12．当
时，不等式
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共4个小题，每个5分，共计20分）

13．已知｜
｜＝1，｜
｜＝
，且
，
的夹角为
，则｜
－
｜的值为_________．

14．已知直线
,
互相垂直，则实数
的值是 .

15．若函数
在定义域
内某区间
上是增函数，且
在
上是减函数，则称
在
上是“弱增函数”．已知函数
在（0，1]上是“弱增函数”，则实数b的值为 ．

16．有下列命题

设m,n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：

（1）若m⊥α，n∥α，则m⊥n

（2）若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ

（3）若m∥α，n∥α，则m∥n

（4）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

其中真命题的序号是 ．

三、解答题（本大题共6个小题，共计70分）

17. （本小题满分为10分）

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且
.

(Ⅰ)求A的大小；

(Ⅱ)若
，试求△ABC的面积．

18. （本小题满分为10分）

已知圆
，

（Ⅰ）若直线
过定点
(1，0)，且与圆
相切，求
的方程；

(Ⅱ) 若圆
半径为3，圆心在
：
上，且与圆
外切，求圆
的方程．

19．（本小题满分为12分）

已知等差数列
中，
，
是
与
的等比中项．

(I)求数列
的通项公式：

(II)若
．求数列
的前
项和.

20. （本小题满分为12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，M，N分别是PA，BC的中点，且PD＝AD＝1．

（Ⅰ）求证：MN∥平面PCD；

（Ⅱ）求证：平面PAC⊥平面PBD．

21．（本小题满分为12分）

已知椭圆
，左右焦点分别为
，

（I）若
上一点
满足
，求
的面积；

（II）直线
交
于点
，线段
的中点为
，求直线
的方程。

22．（本小题满分为14分）

若二次函数
，满足
且
=2.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）若存在
，使不等式
成立，求实数m的取值范围．参考答案（文）

1．D. 2．A 3．C 4．D 5．D 6. B 7．B 8. 11．B 9. A 10. C

11. B

【解析】

试题分析：
，得
，
，即
，即
，即
，即
，∴
，即
.

12．B．【解析】：
对于
恒成立，即
恒成立，令
，

；两者图像如下图，由图像，得
，即
，解得
．

13．
14．
，或

15．1

【解析】：由于函数
在（0，1]上是“弱增函数”,因此函数
在（0，1]上是增函数”，
在
恒成立，只需
成立即可；
时，有最小值，所以
，即
；令
在
为减函数，因此

在区间
成立，
恒成立，因此
，综上
．

16．（1）（2）

17．(1)
；(2)
.

18．（Ⅰ）
或
； (Ⅱ)

19．(I)当
时，
；当
时，
；(II)
.

解析：(I)由题意，
，即
，化简得
，∴
或

∵
,∴当
时，
；当
时，
.

(II)∵
，∴
，∴
,∴
……①

①
2，得
……②,①-②，得
=
,∴
.

20．解析：（Ⅰ）证明 取AD中点E，连接ME，NE，由已知M，N分别是PA，BC的中点，所以ME∥PD，NE∥CD，

又ME，NE?平面MNE，ME∩NE＝E，

所以平面MNE∥平面PCD，

所以MN∥平面PCD．

（Ⅱ）证明 因为ABCD为正方形，

所以AC⊥BD， 又PD⊥平面ABCD，所以PD⊥AC，

所以AC⊥平面PBD，

所以平面PAC⊥平面PBD.

21．（1）
.（2）
。

解析：（1）由第一定义，
,即

由勾股定理，
，所以
，
.

（2）设
,满足
，
，两式作差
，将
，
代入，得
，可得
，直线方程为：
。

22．(Ⅰ)
=4,
=2,
=2,
=2；(Ⅱ)

解析：(Ⅰ) 由已知得
,而

，代入得
，故
=4,
=2,
=2,
=2;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知

，

设函数
=
=
(
),

=
=
, 由题设知
，即
，令
，得

，

（1）若
，则
，∴当
时，
，当
时，
，记
在
时单调递减，
时单调递增，故
在
时取最小值
，而



，∴当
时，
，即
≤
；

（2）若
，则
，∴当
时，
，∴
在
单调递增，而
.∴当
时，
，即
≤
；

（3）若
时，
，则
在
单调递增，而
=
=
<0,

∴当
≥-2时,
≤
不可能恒成立,

综上所述,
的取值范围为[1,
].