会宁一中2014-2015学年度第一学期高三级第二次月考数学试题（理科）

【满分150分，考试时间120分】

第Ⅰ卷 共60分

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）

1、已知集合
，
，则
（ ）

A. [1,2] B. [0,2] C. [-1,1] D. (0,2)

2、若为虚数单位 ，则
（ ）

A.
B.
C.
D.

3、已知向量
满足
，则
（ ）

A．
B．
C． D.
.

4、已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　 　)

A．－ B．－ C. D.

5、下列说法正确的是 （ ）

A. 命题“x0∈R，x02＋x0＋1<0”的否定是：“ x∈R，x2＋x＋1>0”;

B. “x=－1”是“x2－5x－6=0”的必要不充分条件;

C. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2=1，则x≠1;

D. 命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题.

6、已知正项组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a6·a15的最大值为(　　)．

A．25 B．50 C．100 D．不存在

7、已知函数
在区间
上有最大值3，最小值2，则的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

8、函数
的图像大致是（ ）

9、已知数列
的前项和为
，
，
，,则
（ ）

A.
B.
C.
D.

10、设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有(　　)

A．f＜f(2)＜f B．f＜f(2)＜f

C．f＜f＜f(2) D．f(2)＜f＜f

11、已知函数①y＝sin x＋cos x，②y＝2sin xcos x，则下列结论正确的是(　　)．

A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形

B．两个函数的图象均关于直线x＝－成轴对称图形

C．两个函数在区间上都是单调递增函数

D．两个函数的最小正周期相同

12、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是(　　)

A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13、已知
是夹角为
的单位向量，向量
，若
，则实数
 .

14、由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为

15、函数f(x)＝cos(0＜φ＜2π)在区间(－π，π)上单调递增，则实数φ的取值范围为________．

16．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17．(本小题12分)

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin Ccos C－cos2C＝，且c＝3.

(1)求角C；

(2)若向量m＝(1，sin A)与n＝(2，sin B)共线，求a、b的值．

18．(本小题12分)

已知数列{an}是等差数列，满足a2＝5，a4＝13.数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋bn＝3.

(1)求数列{an}及数列{bn}的通项公式；

(2)若cn＝an·bn，试比较cn与cn＋1的大小．

19．(本小题12分)

已知函数f(x)＝x3－x2＋bx＋a.(a，b∈R)的导函数f′(x)的图象过原点．

(1)当a＝1时，求函数f(x)的图象在x＝3处的切线方程；

(2)若存在x＜0，使得f′(x)＝－9，求a的最大值．

20、（本小题满分12分）

已知函数
。

（1）求
的定义域及最小正周期；

（2）求
的单调递减区间.

21、 (本小题12分)

已知函数f(x)＝xln x，

(1)求函数f(x)的极值点；

(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在[1，e]上的最小值．(e＝2.718 28…)

请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做则按所做的第一题计分，做答时请填写题号。

22. (本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，
内接于直径为
的圆
，过点作圆
的切线交
的延长线于点，
的平分线分别交
和圆
为点,，

若
.

（1）求证：
;

（2）求
的值.

23．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程选讲

已知直线
：
（为参数，(为
的倾斜角），以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
.

（1）若直线
与曲线相切，求的值；

（2）设曲线上任意一点的直角坐标为
，求
的取值范围.

24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知正实数
满足：
.

（1）求
的最小值；

（2）设函数
，对于（1）中求得的，是否存在实数，使
成立，说明理由。

会宁一中2015届高三第二次月考试卷

数学试题

【满分150分，考试时间120分】

第Ⅰ卷 共60分

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 请将正确选项用2B铅笔涂黑答题纸上对应题目的答案标号）

1、已知集合
，
，则
（ B ）

A. [1,2] B. [0,2] C. [-1,1] D. (0,2)

2、若为虚数单位 ，则
A

A.
B.
C.
D.

3、已知向量
满足
，则
（ ）D

A．
B．
C． D.
.

4、已知
，则
B

A．
B.
C.
D.

4、【理科】已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|＜，则θ等于(　D　)

A．－ B．－ C. D.

5、下列说法正确的是 D

A. 命题“x0∈R，x02＋x0＋1<0”的否定是：“ x∈R，x2＋x＋1>0”;

B. “x=－1”是“x2－5x－6=0”的必要不充分条件;

C. 命题“若x2=1，则x=1”的否命题是：若x2=1，则x≠1;

D. 命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题.

6、已知正项组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a6·a15的最大值为(　A　)．

A．25 B．50 C．100 D．不存在

7、函数
的零点所在的一个区间是 C

A. (，) B. (，) C. (，1) D. (1，2)

7、【理科】已知函数
在区间
上有最大值3，最小值2，则的取值范围是( D )

A．
B．
C．
D．

8、函数
的图像大致是 A

9、已知数列
的前项和为
，
，
，,则
B

A.
B.
C.
D.

10、设函数f(x)定义在实数集上，f(2－x)＝f(x)，且当x≥1时，f(x)＝lnx，则有(　C　)

A．f＜f(2)＜f B．f＜f(2)＜f

C．f＜f＜f(2) D．f(2)＜f＜f

11、已知函数①y＝sin x＋cos x，②y＝2sin xcos x，则下列结论正确的是(　C　)．

A．两个函数的图象均关于点成中心对称图形

B．两个函数的图象均关于直线x＝－成轴对称图形

C．两个函数在区间上都是单调递增函数

D．两个函数的最小正周期相同

12、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)·g(x)＋f(x)·g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)·g(x)＜0的解集是(　D　)

A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)

C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)

解析：记h(x)＝f(x)·g(x)．依题意得，h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)g(x)，即h(－x)＝－h(x)，所以函数h(x)是奇函数．当x＜0时，h′(x)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，h(x)是增函数，又h(－3)＝f(－3)·g(－3)＝0，因此，不等式h(x)＜0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)，即不等式f(x)·g(x)＜0的解集是(－∞，－3)∪(0,3)，选D.

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答题纸的相应位置上)

13、已知
是夹角为
的单位向量，向量
，若
，则实数
 .

14、曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．

解析　曲线方程为y＝x3－x＋3，则y′＝3x2－1，又易知点(1,3)在曲线上，有y′|x＝1＝2，即在点(1,3)处的切线方程的斜率为2，所以切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.

答案　2x－y＋1＝0

14【理科】由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cos x所围成的封闭图形的面积为 

15、函数f(x)＝cos(0＜φ＜2π)在区间(－π，π)上单调递增，则实数φ的取值范围为________．

解析　令－π＋2kπ≤＋φ≤2kπ(k∈Z)，

得6kπ－3π－3φ≤x≤6kπ－3φ，k∈Z.

∵f(x)在(－π，π)上单调递增，∴

∴2kπ－π≤φ≤2kπ－(k∈Z)．

又∵0＜φ＜2π，∴令k＝1，得π≤φ≤π，即实数φ的取值范围为.

答案　

16．关于x的方程x3－3x2－a＝0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是________．

解析　由题意知使函数f(x)＝x3－3x2－a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，令f′(x)＝0得，x1＝0，x2＝2，当x＜0时，f′(x)＞0；当0＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0，所以当x＝0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值＝f(0)＝－a；当x＝2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值＝f(2)＝－4－a，所以，解得－4＜a＜0.

答案　(－4,0)

三、解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷纸的相应位置上)

17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin Ccos C－cos2C＝，且c＝3.

(1)求角C；

(2)若向量m＝(1，sin A)与n＝(2，sin B)共线，求a、b的值．

解　(1)∵sin Ccos C－cos2C＝， ∴sin 2C－cos 2C＝1，即sin（2C－）＝1，

∵0＜C＜π，∴2C－＝，解得C＝.

(2)∵m与n共线，∴sin B－2sin A＝0，

由正弦定理＝，得b＝2a，①

∵c＝3，由余弦定理，得9＝a2＋b2－2abcos ，② 联立方程①②，得

18．(本小题12分)已知数列{an}是等差数列，满足a2＝5，a4＝13.数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn＋bn＝3.

(1)求数列{an}及数列{bn}的通项公式；

(2)若cn＝an·bn，试比较cn与cn＋1的大小．

解　(1)∵a2＝5，a4＝13，∴a4＝a2＋2d，即13＝5＋2d.

∴d＝4，∴a1＝1，∴an＝4n－3.

又Tn＋bn＝3，∴Tn＋1＋bn＋1＝3， ∴2bn＋1－bn＝0，即bn＋1＝bn.

∵b1＋b1＝3，∴b1＝， ∴数列{bn}为首项是，公比是的等比数列，

∴bn＝（）n－1＝.

(2)cn＝anbn＝，∴cn＋1＝，

cn＋1－cn＝－＝.

①当n＝1时，cn＋1－cn＞0，∴cn＋1＞cn；

②当n≥2(n∈N*)时，cn＋1－cn＜0，∴cn＋1＜cn.

19．(本小题12分)已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．

(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；

(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．

解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．

当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；

f(－1)－f(1)＝－2a≠0，

∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，

f(x)在[2，＋∞)上是单