秦安一中2015届高三上学期第三次检测

数学(文）试题

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项符合题意）

1.设集合
，则
(　 　)

A．[1,2)　　 B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3]

2.
，那么
= ( )

A.
? B.
C.
? D.

3.已知方程
，则1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数
的单调递增区间是 （　 　）

A.
B.
C.
D.

5.知
,不等式
的解集为
,则函数
的图象为 ( )

6.已知数列
，
满足
，
, 则数列
的前
项的和为 （ ）

A．
B．
　　　C．
　　 　D．

7.已知直线
与曲线
在点
处的切线垂直,则
到直线
的距离为

A.
B.
C.
D.

8、关于函数
，有下列命题:

① 其表达式可写成
；

② 直线
图象的一条对称轴；

③
的图象可由
的图象向右平移
个单位得到；

④ 存在
，使
恒成立.

其中，真命题的序号是 （ ）

A．②③ B．①② C．②④ D．③④

9.设变量
满足
，则
的取值范围是 （ ）

A．
B.
C.
D.

10.若椭圆
的离心率
，右焦点为
，方程
的两个实数根分别是
，则点
到原点的距离为(　 　)

A.
B.
C.2 D.

11.已知偶函数
满足：
，若函数
，则
的零点个数为 （ ）

A.1 B.3 C.2 D.4

12.已知过抛物线C：

的焦点F的直线m交抛物线于点M、N,
,则抛物线C的方程为 （ ）

A．
B．
　　　C．
　　 　D．

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 过圆内一点的最长弦与最短弦所在直线方程分别为
与
，则实数
= ;

14、两个正数
的等差中项是3，一个等比中项是
，且
，则双曲线
的离心率为 ;

15、定义
是向量a和b的“向量积”，它的长度
其中
为向量
和
的夹角，若
则
= ．

16、给出命题：已知实数a、b满足
，则
.它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_______．

三、解答题 (共6题,满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)

17. (本小题满分10分)

一直线经过点P
被圆
截得的弦长为8, 求此弦所在直线方程。

18.(本小题满分12分)

在
中，角
所对的边分别为
，若
且
∥
.

(1)求角
的大小；

(2)求
的最大值，并求取最大值时角
的大小。

19. (本小题满分12分)

已知双曲线的方程是16x2－9y2=144

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。

20．（本小题满分12分）

已知公差大于零的等差数列
的前
项和为
且满足：

（1）求通项

（2）若数列
为等差数列，且
求非零常数

21.（本小题满分12分）

设
.

(1) 当
时，
取到极值，求
的值；

(2) 当
满足什么条件时，
在区间[－，－]上有单调递增区间？

22．（本小题满分12分）

设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝2.求椭圆的方程．

秦安县第一中学2014—2015学年度高三级第三次检测考试

数学试题（文科）——参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项符合题意）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

C

D

B

D

D

C

A

A

B

C



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．1或2 14.
15.
16. 1

三、解答题 (共6题,满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)

17. 解: (1)当斜率k不存在时, 过点P的直线方程为
,代入
,得
.
弦长为
,符合题意.

(2)当斜率k存在时,设所求方程为
,即
.

由已知,弦心距

,解得
.

所以此直线方程为
,即
.

所以所求直线方程为
或
.

18. 解：（1）由
且
∥
， 得

由正弦定理得
因为
所以
从而
，

又
所以
则

（2）由（1）知，
于是
=

因为
所以
从而当
即
时，

取最大值2.综上所述，
的最大值为2，此时

19. 解：（1）由16x2－9y2=144得
－
=1，∴a=3，b=4，c=5焦点坐标F1（－5，0），F2（5，0），离心率e=
，渐近线方程为y=±
x

（2）||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2=

=
=
=0，∴∠F1PF2=90°.

20.（1）由
知
是方程
的两根，又公差
所以

所以

（2）由（1）知

，
为等差数列,
即
解得
经验证符合题意.

21.解：(1)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，且f′(x)＝－2ax－1＝，由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得
. …4分

又当
时，f′(x)＝＝，当01时，f′(x)>0，所以f(1)是函数f(x)的极大值，所以
. …6分

(2)解法一：要使f(x)在区间[－，－]上有单调递增区间，

即要求2ax＋(2a＋1)>0在区间[－，－]上有解，

①当a＝0时，不等式恒成立；

②当a>0时，得x>－，此时只要－<－， 解得a>0；

③当a<0时，得x<－，此时只要－>－，解得－1

综上所述，
． …12分

解法二：要使f(x)在区间[－，－]上有单调递增区间，

即
在区间[－，－]上有解，

即要求2ax＋(2a＋1)>0在区间[－，－]上有解，

即在区间[－，－]上，
，而
在区间[－，－]单调递增，所以

综上所述，
．

22. (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.

又b2＝a2－c2，则＝. 所以，椭圆的离心率e＝.

(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为＋＝1.

设P(x0，y0)．由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．

由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①

因为点P在椭圆上，故＋＝1.② 由①和②可得3x＋4cx0＝0.

而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，即点P的坐标为.

设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，

所以圆的半径r＝＝c.

由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，又|MF2|＝2，故有2＋2＝8＋c2，

解得c2＝3.所以，所求椭圆的方程为＋＝1.