秦安一中2015届高三上学期第三次检测

数学(理）试题

第Ⅰ卷（选择题　共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项符合题意）

1.设集合
，则
(　 　)

A．[1,2)　　 B．[1,2] C．(2,3] D．[2,3]

2.
，那么
= ( )

A.
? B.
C.
? D.

3.已知方程
，则1

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

4.函数
的单调递增区间是 （　 　）

A.
B.
C.
D.

5.知
,不等式
的解集为
,则函数
的图象为 ( )

6.已知数列
，
满足
，
, 则数列
的前
项的和为 （ ）

A.
B.
　　　C.
　　 　D.

7.已知直线
与曲线
在点
处的切线垂直,则
到直线
的距离为

A.
B.
C.
D.

8、关于函数
，有下列命题:

① 其表达式可写成
；

② 直线
图象的一条对称轴；

③
的图象可由
的图象向右平移
个单位得到；

④ 存在
，使
恒成立.

其中，真命题的序号是 （ ）

A．②③ B．①② C．②④ D．③④

9.设变量
满足
，则
的取值范围是 （ ）

A.
B.
C.
D.

10.若椭圆
的离心率
，右焦点为
，方程
的两个实数根分别是
，则点
到原点的距离为(　 　)

A.
B.
C.2 D.

11.已知偶函数
满足：
，若函数
，则
的零点个数为 （ ）

A.1 B.3 C.2 D.4

12.已知过抛物线C：

的焦点F的直线m交抛物线于点M、N,
,则抛物线C的方程为 （ ）

A．
B．
　　　C．
　　 　D．

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.过圆内一点的最长弦与最短弦所在直线方程分别为
与
，则实数
= ;

14.两个正数
的等差中项是3，一个等比中项是
，且
，则双曲线
的离心率为 ;

15.定义
是向量a和b的“向量积”，它的长度
其中
为向量
和
的夹角，若
则
= ．

16.给出命题：已知实数a、b满足
，则
.它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是_______．

三、解答题 (共6题,满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)

17. (本小题满分10分)

已知圆C：
,直线l：

（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程

18.(本小题满分12分)

在
中，角
所对的边分别为
，若
且
∥
.

（1）求角
的大小；

（2）求
的最大值，并求取最大值时角
的大小。

19. (本小题满分12分)

已知双曲线的方程是16x2－9y2=144

（1）求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

（2）设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|=32，求∠F1PF2的大小。

20.（本小题满分12分）

数列
中，
当
时，其前
项和为
，满足

（1）求
的表达式；

（2）设
数列
的前
项和为
，不等式
对所有的
恒成立,求正整数
的最大值.

21．（本小题满分12分）

已知函数
，其中a∈R.

(1)当
时，求曲线
在点
处的切线的斜率；

(2)当
时，求函数
的单调区间与极值．

22．（本小题满分12分）

设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过点F2的直线l与该圆相切于点M，|MF2|＝2.求椭圆的方程．

秦安县第一中学2014—2015学年度高三级第三次检测考试

数学试题（理科）——参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，只有一个选项符合题意）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

C

D

B

D

D

C

A

A

B

C



二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．1或2 14.
15.
16. 1

三、解答题 (共6题,满分70分解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤)

17. （1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.∵m∈R，∴
得
即l恒过定点A（3，1）∵圆心C（1，2），｜AC｜＝
＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点

（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－
， ∴l的方程为2x－y－5=0

18.解：（1）由
且
∥
， 得

由正弦定理得
因为
所以
从而
，

又
所以
则

（2）由（1）知，
于是
=

因为
所以
从而当
即
时，

取最大值2.综上所述，
的最大值为2，此时

19. 解：（1）由16x2－9y2=144得
－
=1，∴a=3，b=4，c=5焦点坐标F1（－5，0），

F2（5，0），离心率e=
，渐近线方程为y=±
x

（2）||PF1|－|PF2||=6，cos∠F1PF2=

=
=
=0，∴∠F1PF2=90°.

20. 解：（1）因为
，所以

即
① 由题意
故①式两边同除以
得
，

所以数列
是首项为
公差为2的等差数列.

故
所以

（2）

故

≥

又∵ 不等式

对所有的
恒成立∴
≥
，

化简得：
，解得：
．∴正整数
的最大值为6． ……12分

21. 解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. …4分

(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a] ex

令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2， …6分

由a≠知，－2a≠a－2. 以下分两种情况讨论：

①若a>，则－2a

x

(－∞，－2a)

－2a

(－2a，a－2)

a－2

(a－2，＋∞)



f′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)



极大值



极小值





所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数．

函数f(x)在x＝－2a处取得极大值为f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.

函数f(x)在x＝a－2处取得极小值为f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. …9分

②若a<，则－2a>a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，a－2)

a－2

(a－2，－2a)

－2a

(－2a，＋∞)



f′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)



极大值



极小值





所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数．

函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. …12分

22. (1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0)．由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.

又b2＝a2－c2，则＝. 所以，椭圆的离心率e＝.

(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为＋＝1.

设P(x0，y0)．由F1(－c,0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．

由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①

因为点P在椭圆上，故＋＝1.② 由①和②可得3x＋4cx0＝0.

而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c，代入①得y0＝，即点P的坐标为.

设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，

所以圆的半径r＝＝c.

由已知，有|TF2|2＝|MF2|2＋r2，又|MF2|＝2，故有2＋2＝8＋c2，

解得c2＝3.所以，所求椭圆的方程为＋＝1.