岳阳县一中、湘阴县一中2015届高三12月联考

数学（文）试题

时量：150分钟 分值：150分

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合
，则
( )

A．
B．
C．
D．

2、若
且
，则
是( )

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

3、已知等差数列
的前
项和为
，
，则
( )

A．4 B．6 　 C．8 　 D．10

4、某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( )

A．
B．

C．
　　　 D．

5、已知
是两个命题，则“
为真命题”是“
为真命题”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6、已知
是周期为4的奇函数，
，则
( )

A．
B．
C．
D．

7、已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为( )

A．
B．
C．
D．

8、已知数列
满足
，且
，其前
项和为
，则满足不等式
的最小整数
是( )

A．11 B．12 C．13 D．14

9、记曲线
与
所围成的封闭区域为
，若直线
与
　有公共点，则实数
的取值范围是( )

A．
　　　　　　　　　 B．

C．
　　　　　　　　 D．

10、用
表示
两数中的最小值，函数
的图象关于直线
对称，若方程
恰有4个不相等的实数根，则实数
的取值范围为( )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上.

11、若直线
与圆
相交于
两点，则弦
的长等于 .

12、在
中，
，其面积
，则
.

13、底面半径为3
的圆柱体水槽中有半槽水，现放入两个直径等于水槽底面圆直径的球，若水槽中的水刚好满了，则水槽的高是
.

14、若不等式
对一切
恒成立，则实数
的最大值是 .

15、已知函数
，记
，且
.

（1）若函数
仅有2个零点，则实数
的取值范围是 .

（2）若函数
的零点个数为
，则满足
的所有
的值为 .

三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16、（本小题满分12分）

已知向量
，函数
，且其图象的两条相邻对称轴之间的距离是
．

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)将函数
图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，求
在区间
上的最大值和最小值．

17、（本小题满分12分）

如图，在各棱长都相等的直三棱柱
中，
分别为
的中点.

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值.

18、（本小题满分12分）

山区一林场2013年底的木材存量为30万立方米，森林以每年20﹪的增长率生长.从今年起每年年底要砍伐1万立方米的木材，设从今年起的第
年底的木材存量为
万立方米.

(Ⅰ)试写出
与
的关系式，并证明数列
是等比数列；

(Ⅱ)问大约经过多少年，林场的木材总存量达到125万立方米？

（参考数据：
）

19、（本小题满分13分）

已知函数
.

(Ⅰ)解不等式
；

(Ⅱ)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.

20、（本小题满分13分）

各项均为正数的数列
，其前
项和为
，且满足
，
.

(Ⅰ)求数列
的通项公式；

(Ⅱ)若数列
前
项和为
,且满足
.

问
为何值时，数列
为等差数列；

(Ⅲ) 求证：
.

21、（本小题满分13分）

设函数
.

(Ⅰ)求函数
的单调区间；

(Ⅱ)判断函数
在区间
上的零点个数.

参考答案

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的.

1、已知集合
，则
( B )

A．
B．
C．
D．

2、若
且
，则
是( C )

A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角

3、已知等差数列
的前
项和为
，
，则
( C )

A．4 B．6 　 C．8 　 D．10

4、某几何体的三视图如图所示，其中正视图和左视图是边长为2的等边三角形，则该几何体的体积等于( A )

A．
B．

C．
　　　 D．

5、已知
是两个命题，则“
为真命题”是“
为真命题”的( B )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

6、已知
是周期为4的奇函数，
，则
( D )

A．
B．
C．
D．

7、已知向量
满足
，且
，则
与
的夹角为( A )

A．
B．
C．
D．

8、已知数列
满足
，且
，其前
项和为
，则满足不等式
的最小整数
是( C )

A．11 B．12 C．13 D．14

9、记曲线
与
所围成的封闭区域为
，若直线
与
　有公共点，则实数
的取值范围是( B )

A．
　　　　　　　　　 B．

C．
　　　　　　　　 D．

10、用
表示
两数中的最小值，函数
的图象关于直线
对称，若方程
恰有4个不相等的实数根，则实数
的取值范围为( D )

A．
B．
C．
D．

二、填空题：本大题共5个小题，共25分，将答案填写在题中的横线上.

11、若直线
与圆
相交于
两点，则弦
的长等于 .

12、在
中，
，其面积
，则
.

13、底面半径为3
的圆柱体水槽中有半槽水，现放入两个直径等于水槽底面圆直径的球，若水槽中的水刚好满了，则水槽的高是
.16

14、若不等式
对一切
恒成立，则实数
的最大值是 .

15、已知函数
，记
，且
.

（1）若函数
仅有2个零点，则实数
的取值范围是 .

（2）若函数
的零点个数为
，则满足
的所有
的值为 .2,3,4

三、解答题：本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

16、（本小题满分12分）

已知向量
，函数
，且其图象的两条相邻对称轴之间的距离是
．

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)将函数
图象上的每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
的图象，求
在区间
上的最大值和最小值．

解：(Ⅰ)由题


…3分

又
的周期

所以
，即
………………………………………………6分

(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得

又由题意得
………………………………………8分

因为
，所以

当
即
时，

当
即
时，
………………………………12分

17、（本小题满分12分）

如图，在各棱长都相等的直三棱柱
中，
分别为
的中点.

(Ⅰ)求证：
平面
；

(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值.

证明：(Ⅰ)如图示，连接