湖北省黄冈中学等八校2015届高三12月第一次联考

数学（文科）试题

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共0个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、若复数
满足
，则
（ ）

A．1 B．-1 C．
D．

2、已知函数
的定义域为
的定义域为
，

则
( )

A．
B．
C．
D．

3、下列函数中，对于任意
，同时满足条件
和
的函数是（ ）

A．
B．
C．
D．

4、若幂函数
的图象经过点
，则它在点A处的切线方程是（ ）

A．
B．
C．
D．

5、如图给出是计算
的值的程序框图，

其中判断框内应填入的是（ ）

A．
B．

C．
D．

6、已知实数等比数列
的前n项和为
，则下列结论一定

成立的是（ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

7、、棱长为2的正方体被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体

的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（ ）

A．14 B．4 C．
D．3

8、点A是抛物线
与双曲线
的一条渐近线的交点（异于原点），若点A到抛物线
的准线的距离为
，则双曲线
的离心率等于（ ）

A．
B．2 C．
D．4

9、已知符号函数
，则函数
的零点个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

10、有下列命题：

①在函数
的图象中，相邻两个对称中心的距离为
；

②“
且
”是“
”的必要不充分条件；

③已知命题
对任意的
，都有
，则“
是：存在
，使得
”；

④在
中，若
，则角
等于
或
。

其中所有真命题的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卷的横线上。.

11、在边长为2的正
中，则

12、某校选修篮球课程的学生中，高一学生由30名，高二学生由40名，现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个容量为n的样本，已知在高一学生中抽取了6人，则在高二学生中抽取 人。

13、设
满足约束条件
，则目标函数
的最大值为

14、随机向边长为5、5、6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率为

15、观察系列等式
，由以上等式推出出一个一般性的结论：对于
，

16、用
表示非空集合
中的元素个数，定义
，

若
，
，且
，则

17、早平面直角坐标系中
中，直线
是曲线
的切线，则当
时，实数
的最小值是

三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

已知函数

（1）求
的单调递增区间；

（2）在
中，三内角
的对边分别为
，已知
成等差数列，

且
，求
的值。

18、（本小题满分12分）

正方体
的棱长为1，点
封闭为
的中点。

（1）证明：
平面
；

（2）证明：
平面
。

19、（本小题满分13分）

已知等比数列
的公比
，前n项和为
且
成等差数列，数列
的前n项和为
，其中
。

（1）求数列
的通项公式；

（2）求数列
的通项公式；

（3）设
，
,求集合
中的所有元素之和。

20、（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系
中，椭圆
的离心率为
，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦
和
，当直线
斜率为0时，

（1）求椭圆的方程；

（2）求由
四点构成的四边形的面积的取值范围。

21、（本小题满分14分）

已知函数

（1）判断
的单调性；

（2）求函数
的零点的个数；

（3）令
，若函数
在
内有极值，求实数
的取值范围。

2015届高三第一次联考文科数学参考答案

一、选择题

二、填空题

11．
12．8 13．8 14．
15．
16．4 17．

解析如下：

5．由程序知道，
都应该满足条件，
不满足条件，故应该选择B．

6．设
，因为
所以A，B不成立，对于C，当
时，
，因为

与
同号，所以
，选项C正确，对于D，取数列：-1，1，-1，1，……，不满足条件，D错．故选C．

7．几何体如图，体积为：
，故选B

8．
点A到抛物线C1的准线的距离为p，

适合
，

，

故选C.

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．请将答案填在答题卡对应题号的位

置上. 答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.

15．由于
，

则

16．由于
的根可能是2个，3个，4个，而|A-B|=1，故
只有3个根，

故
.

17．设切点为(
,
，则
上此点处的切线为

，故

在
上单调递减，在
上单调递增.

的最小值为
.

三、解答题：本大题共5小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18．（Ⅰ）
…………2分

=
…………………………3分

由
Z)得，
Z) ……5分

故
的单调递增区间是
Z) ………………………6分

（Ⅱ）
，
，

于是
，故
…………………………8分

由
成等差数列得：
，

由
得
，
………………………………10分

由余弦定理得，
，

于是
，
，
……………………………………13分

19．（Ⅰ）连BD交AC于点E，则E为BD的中点，连EF，

又F为A1D的中点，所以EF∥A1B，……………3分

又
平面AFC，
平面AFC，

由线面平行的判断定理可得A1B∥平面AFC……5分

（Ⅱ）连B1C，在正方体中A1B1CD为长方形，

∵H为A1C的中点 ，∴H也是B1D的中点，

∴只要证
平面ACF即可 ………………6分

由正方体性质得
，
，

∴
平面B1BD，∴
…………………………………………9分

又F为A1D的中点，∴
，又
，∴
平面A1B1D，

∴
，又AF、AC为平面ACF内的相交直线， …………………11分

∴
平面ACF。即
平面ACF。 ………………………………12分

21．（Ⅰ）由题意知，
，则
，
，

所以
．所以椭圆的方程为
． ………………4分

（Ⅱ）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，

由题意知
； …………………………5分

②当两弦斜率均存在且不为0时，设
，
，

且设直线
的方程为
，则直线
的方程为
．

将直线
的方程代入椭圆方程中，并整理得
，

所以
．…………8分

同理，
． …………………………10分

所以

，

当且仅当
时取等号 …………11分

∴

综合①与②可知，
…………………………………………13分