2014年秋季湖北省重点高中联考高三理科数学试卷（理科）

考试时间：2014年11月7日上午8:00-10:00 试卷满分：150分

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

下列四个值中，与
的值最接近的是

A．
B．
C．
D．

对于集合
N
和集合
，

若满足
，则集合中的运算“
”可以是

加法 B．减法 C．乘法 D．除法

对于定义在实数集R上的狄利克雷函数
，

则下列说法中正确的是

A．
的值域是
B．
的最小正周期是1

C．
是奇函数 D．
是偶函数

正项等比数列{
}的公比为2，若
，则
的值是

3 B．4 C．5 D．6

5．函数
的图象的相邻两条对称轴之间的距离是

A．
B．
C．
D．

设向量
、
、
是三个非零向量，若
，则
的取值范围是

A．
B．{0，1，2，3}

C．
D．{0，3}

设
的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，

则
的最小的边长是

A．3 B．4 C．5 D．6

已知最小正周期为2的函数
在区间
上的解析式是
，则函数
在

实数集R上的图象与函数
的图象的交点的个数是

A．3 B．4 C．5 D．6

9．设等差数列{
}满足：
，且其前项的和
有最大值，则当数列{
}的前项

的和取得最大值时，此时正整数的值是

A．11 B．12 C．22 D．23

若函数
与轴有两个不同的交点，则实数的取值范围是

A．
B．

C．
D．

填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

已知函数
是奇函数，且当
时，
，则
的值是 .

计算：
= .

已知在
中，若
，
，且点
是
的外接圆的圆心，

则
的值是 .

设函数
在实数集R上的最大值是
，最小值是，

则
的值为 .

对于任意的正整数
，

，定义
，如：
，

对于任意不小于2的正整数，，设
……+
，

……+
，则
= .

解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.（本小题满分11分）已知平面向量
，
.

求
的最小值；

若
（
为实数），求

17.（本小题满分12分）

已知平面向量
，
，
，
。

求
的最小值；

求
的单调增区间。

（本小题满分12分）

在平面四边形
中，
。

求
的长；

若
，求
的面积。

（本小题满分12分）

一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km,在岸边距离点B300km的A处有一军需品仓库，有一批军需品要尽快送达海岛，A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送，火车时速为50km,轮船时速为30km,试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛，问点C选在何处可使运输时间最短。

（本小题满分14分）

递增等比数列
中（
），已知
，
，
，
成等差数列.

求数列
的通项公式；

若
恒成立，求实数
的取值范围；

记

的前项和为
（
），求证
.

21.（本小题满分14分）

已知函数
.

当
时，求
的单调增区间；

若
时，
恒成立，求实数的取值范围；

求证：
对一切正整数恒成立。

2014年秋季湖北省重点高中联考高三理科数学答案

一、选择题：（共50分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

C

D

C

B

A

B

C

C

D



二、填空题：（共25分）

11、
； 12、1； 13、
；

14、2； 15、
；

16、解：（1）易得：
，……4分

∴当
时，
取得最小值
.………………5分

依题意可列得：
，解得：
，或
………………7分

而易得：
，………………9分

当
时，则
；………………10分

当
时，则
.………………11分

17、解：（1）易得：
=
……2分

=
=
，………………4分

又∵
，∴
，

故当
时，即
时，函数
取得最小值0. ………………7分

由上易得：令
，解得：
，………………11分

故所求得的函数
的单调递增区间是
，
.………………12分

18、解：（1）在
中，由余弦定理可列得：

，即：
，………………3分

解得：
.………………5分

由
，易得：
，………………6分

由
，易得：
，………………7分

故

=
=
，………………10分

故
=
.………………12分

19、设点C与点B的距离为
，则运输时间

令
，
………………9分

………………11分

所以所选点C在与点B的距离为112.5km处运输时间最短………………12分

20、解：（1）依题意可列得：
，化简可得：
，……1分

即为：
，解得：
，或
，………………2分

而数列{
}是递增数列，故
，………………3分

则
.………………4分

(2)依题意可列得：
，即：
，

①当
时，则易得：
，解得：
，………………5分

②当
时，则
，………………6分

而
，………………7分

而易知：当
时，
的值是16；而当
时，
是