2014-2015学年度湖北省部分高中12月调考

高三数学试卷（理科）

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、集合
，则
（ ）

A．
B．

C．
D．

2、复数
，其中
是虚数单丝，则复数
的模为（ ）

A．
B．
C．
D．2

3、已知
，其中
，则
可能是（ ）

A．
B．
C．2或
D．-1或

4、等比数列
的前n项和为
，则公比
为（ ）

A．1 B．
C．1或
D．-1或

5、函数
是R上的偶函数，且
，当
时，
，

则
（ ）

A．
B．1 C．
D．

6、等差数列
中，
为数列
的前n项和，若
，则
的最大值为（ ）

A．2003 B．400 C．4006 D．4007

7、一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）

A．10 B．20 C．30 D．40

8、从
这20个数中任取2个不同的数，则这两个数

之和为3,的倍数的概率为（ ）

A．
B．
C．
D．

9、设
满足约束条件
，若
的最小值为
，则
的值为（ ）

A．-1 B．1 C．-2 D．2

10、设曲线
在点
处的切线为
，曲线
在点
处的切线为
，若存在
，使得
，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上。.

11、如图是一个算法的程序框图，若输入的
的值为2，

则输出的
的值是

12、已知
为抛物线
上不同的五个点，交点

为
，且
，则

13、设
为
的两条互相垂直的弦，

垂足为
，则四边形
面积的最大值为

14、
中，
，过点A作BC边上的高AD，则
，请利用上述结论，类比推出，在空间四面体
中，若
两两垂直，
到平面
的距离为
，则

（二）选做题（考生在第15、16题中任选一题作答，如果全选，则按第15题作答结果计分）

15、（几何证明选讲）PA是
的切线A为切点，直线PO交
于B、C两点，D是OC的中点，连结AD并延长交
于点E，若
，则

16、（坐标系与参数方程）在直角坐标系
中，以原点
为极点，
轴的非负半轴为极轴建立坐标系，已知直线
与曲线
为参数）相交于
两点，若
为线段
的中点，则直线
的斜率为

三、解答题：本大题共5小题，满分65分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

设
三个内角
所对的边的长分别为
，若
成等比数列，且

（1）求角
的大小；

（2）设
，当
取最小值时，判断
的形状。

18、（本小题满分12分）

设各项均为正数的数列
的前n项和为
，且
恰是等比数列
的前三项。

（1）求数列
，
的通项公式；

（2）记数列
的前n项和为
，若对任意的
，
恒成立，

求实数
的取值范围。

19、（本小题满分12分）

某公司从某大学招收毕业生，录用了14名男生和6名女生，这20名毕业生的测试成绩如茎叶图所示（单位：分），公司规定：成绩在180分以上者到甲部门工作，180分以下这道乙部门工作，成绩高于180分的男生才能担任助理工作。

（1）如果用分层抽样的方法从甲部门入选和乙部门入选中选取8人，再从这8人中选3人，那么只好有一人是甲部门入选的概率是多少？

（2）若从所有甲部门入选中随机选3人，用X表示所选人员中能担任助理工作的人数，求X的概率分布列及数学期望。

20、（本小题满分13分）

四面体
中，
是正三角形，
是等腰直角三角形，其中
，二面角
的平面角的余弦值为
。

（1）求点A到平面
的距离；

（2）设
是
的中点，
为
内的动点（含边界），且
平面
，求直线
与平面
所成角的正弦值的取值范围。

21、（本小题满分14分）

已知
的两个顶点
则坐标分别是
，且
所在直线的斜率之积为

（1）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；

（2）当
时，过点
的直线
交曲线E与
两点，设点
关于
轴的对称点是
不重合），直线
与
轴的交点是定点吗？若是求出此定点坐标；若不是，请说明理由。

22、（本小题满分14分）

已知函数

（1）若函数
在
处取得最大值，求
的值；

（2）若
时，函数
图象上的点都在
所表示的区域内，求
的取值范围；

（3）证明
。

2014—2015学年度湖北省部分高中12月调考

高三数学（理科）参考答案

一、选择题（共50分）

1—5　CBBCA 6—10　CBABD

二、填空题（25分）

11、
12、10 13、5

14、
15、
16、

三、解答题（共75分）

（Ⅱ）
…………………8分

故当
时，
取最小值…………………………………9分

又
…………………………………………………………10分

故
………………………………………………………………11分

，
为等边三角形………………………………12分

18、解：（Ⅰ）

　　　　　
……………………………1分

相减，得

…………………………………………………2分

又
………………………………………3分

又
，即
，解得
……………4分

又
，故
……………………………………5分

，故数列
为首项，2为公差的等差数列，

故
………………………………………………………………6分

易知
，
……………………………………7分

（Ⅱ）
…………………………………………8分

恒成立，

即
对
恒成立……………………………………………9分

令
，则

故
时，
，
时，
，

最大…………………………………………………………11分

…………………………………………………………………12分

19、解：（Ⅰ）根据茎叶图知，甲部门人选有10人，乙部分人选也有10人，

故从20人中选8人，用分层抽样，知选中的甲部门人选4人，

选中的乙部门人选也是4人。……………………………………………3分

用A表示“至少有一名甲部门人选被选中”，则
表示没有一名甲部门人选被选中，则：

，故至少有一人是“甲部门”的概率是
…………5分

（Ⅱ）据题意，所选毕业生中能担任“助理工作”的人数X的取值分别为0，1，2，3……………………………………………………………………………………………6分

，
，

，
………………………………10分

X的分布列为：

……………………………………12分

20、解：（Ⅰ）
中，
，故
…………1分

取
………………2分

为二面角
的平面角，即
……3分

由
，故面
，交线为GD。

故A到平面BCD距离即为点A到直线DG的距离。…………………4分

在
中，
…………5分

的距离为
，即A到平面BCD的距离为
…………6分

（Ⅱ）取
中点T，AC中点M，则平面
…………7分

　　
上运动……………………………………………8分

　　于是AH在面BCD上的斜足轨迹为线段TC

　　由（Ⅰ）知

　　故
………………………………………………………9分

　　故
，

设AH与平面BCD成角为
，由于点A到面BCD距离为
，

故
………………………………………………11分

即取值范围是
……………………………………………12分

（说明：用向量法可同样给分）

21. 解：（Ⅰ）由题知：

化简得：
………………………………………2分

当
时 轨迹
表示焦点在
轴上的椭圆，且除去
两点；

当
时 轨迹
表示以
为圆心半径是１的圆，且除去
两点；

当
时 轨迹
表示焦点在
轴上的椭圆，且除去
两点；

当
时 轨迹
表示焦点在
轴上的双曲线，且除去
两点；

……………………………………………………6分

的方程为
令
，

得

直线
过定点
…………