河南中原名校2015高三11月期中考试试题--数学理试卷

满分：150分 考试时间：120分钟

第

题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填涂在答题I卷 (选择题 共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小纸的相应位置.

1．在复平面内，复数
对应的点位于 （ ）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

2．已知集合
，
，则
（ ）

A．{x|10＜x＜1} B．{x|x＞1} C．{x|x≥2} D．{x|1＜x＜2}

3．已知sin2α＝－
，α∈（－
，0），则sinα＋cosα＝（ ）

A．－
B．
C．－
D．

4．设f（x）是定义在R上的奇函数，当
时，f（x）＝x
（e为自然对数的底数），则
的值为　　　　　　　　　　　（　　　　）

A．ln6＋6 B． ln6－6 C． －ln6＋6 D．－ln6－6

5．已知向量
，
，则a与b夹角的余弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．执行右图所示的程序框图，会输出一列数，则这

个数列的第3项是 ( )

A．870

B．30

C．6

D．3

7．函数
的图象向左平移
个单位后关于原点对称，则函数f(x)在
上的最小值为（ 　　　 ）

A．
B．
　　C．
D．

8．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（ 　　）

A．2 B．

C．
D．3

9. 已知数列
为等差数列，
为等比数列，且满足：
，
，则
（　　　　）

A.1 B.
C.
D.

10．如图，把周长为1的圆的圆心C放在y轴上，顶点A（0，1），一动点M从A开始逆时针绕圆运动一周，记弧AM=x，直线AM与x轴交于点N（t，0），则函数
的图像大致为（ ）

11．已知函数
若
互不相等，且
，则
的取值范围是( )

A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015]

12. 已知定义的R上的函数
满足
且在
上是增函数，不等式
对任意
恒成立，则实数的取值范围是( )

A.
B.
C.
D.

第II卷(共90分)

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，满分20分.请把答案填在答题纸的相应位置.

13．已知
，则
的值为

14. 图中阴影部分的面积等于 ．

15．设正实数x、y、z满足
，则当
取得最大值时，
的最大值为

16. 设
是定义在R上的偶函数，且对于
恒有
，已知当
时，
则

（1）
的周期是2； （2）
在（1，2）上递减，在（2，3）上递增；

（3）
的最大值是1，最小值是0；（4）当
时，

其中正确的命题的序号是 .

三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）

设函数

(1)求
的最大值，并写出使
取最大值时x的集合；

(2)已知
中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若
，求a的最小值.

18．（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
，
.

（1）求数列
的通项公式；

（2）设
，
＝
，记数列
的前项和
.若对
，

恒成立，求实数
的取值范围．

19．（本小题满分12分）

如图，在斜三棱柱
中，
是
的中点，
⊥平面
，
，
.

（Ⅰ）求证：
；

（Ⅱ）求二面角
的余弦值.

20.（本小题满分12分）

设椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

21. （本小题满分12分）

已知函数
，
，
是常数．

（1）求函数
的图象在点
处的切线方程；

（2）若函数
图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围；

（3）证明：
，存在
，使
．

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第22题计分．

22．（本小题满分10分）

选修4－1：几何证明选讲

如图，已知圆上的
，过C点的圆的切

线与BA的延长线交于E点．

（Ⅰ）求证：∠ACE＝∠BCD；

（Ⅱ）若BE＝9，CD＝1，求BC的长．

23．（本小题满分10分）

选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线l：
（t为参数）恒经过椭圆C：
（(为参数）的右焦点F．

（Ⅰ）求m的值；

（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，求|FA|·|FB|的最大值与最小值．

24. （本小题满分10分）

已知函数

（1）求不等式
的解集；

（2）若关于x的不等式
的解集非空，求实数的取值范围.

高三理科数学参考答案

1-12 ACBAB BADDD CB

13．
14 .1 15. 1 16. (1),(2),(4).

17.解：（1）

……………3分

的最大值为………………………………………4分

要使
取最大值，

故的集合为
………6分

（2）由题意，
，即

化简得
……………………………………………………8分

，
，只有
，
………9分

在
中，由余弦定理，
………10分

由
知
，即
，………………………………11分

当
时，取最小值
…………………………………12分

18.解： （1）当
时，
，当
时，

即：
，数列
为以2为公比的等比数列

（2）由bn＝log2an得bn＝log22n＝n，则cn＝
＝
＝
－
，

Tn＝1－
＋
－
＋…＋
－
＝1－
＝
.

∵
≤k(n＋4)，∴k≥
＝
.

∵n＋
＋5≥2
＋5＝9，当且仅当n＝
，即n＝2时等号成立，

∴
≤
，因此k≥
，故实数k的取值范围为

19.（Ⅰ）因为
⊥平面
，所以
.又
，

所以
平面
，所以
.

因为
，所以四边形
是菱形，所以
.

所以
平面
，所以
.　　……………………5分

（Ⅱ）以
为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系
，

则
，
，
，
.

，
，

设
是面
的一个法向量，则
，

即
，令
，取
.

同理面
的一个法向量为
.　……………………10分

因为
.

所以二面角
的余弦值
.　　…………………………12分

20. 解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．

由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2. 又b2＝a2－c2，则＝，

所以椭圆的离心率e＝. 4分

(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为＋＝1.

设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．

由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①

又因为点P在椭圆上， 所以＋＝1.②

由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.代入①得y0＝，

即点P的坐标为.

设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.

设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±，

所以直线l的斜率为4＋或4－.

21解：（1）函数的定义域为
,

，

函数
的图象在点
处的切线为
，

即
…………………………4分

（2）①
时，
，因为
，所以点
在第一象限，依题意，

②
时，由对数函数性质知，
时，
，
，从而“
，
”不成立

③
时，由
得
，设
，











－









↘

极小值

↗




，从而
，

综上所述，常数的取值范围
…………………………8分

（3）计算知

设函数

，

当
或
时，

，

因为
的图象是一条连续不断的曲线，所以存在
，使
，即
，使
；

当
时，
、
，而且
、
之中至少一个为正，由均值不等式知，
，等号当且仅当
时成立，所以
有最小值
，且

，

此时存在
（
或
），使

综上所述，
，存在
，使
………………12分

（22）解：（Ⅰ）
．………………（2分）

又
为圆的切线，

．……………（5分）

（Ⅱ）
为圆的切线，∴
，

由（Ⅰ）可得
，……………………………………（7分）

∴△
∽△
，∴