河北省衡水重点中学第五次调研考试

数学试题（理科）

第Ⅰ卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1、设集合
，集合
，则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

2、已知复数
为虚数单位），则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

3、公比为2的等比数列
的各项都是正数，且
，则
等于（ ）

A．1 B．2 C．4 D．8

4、某商场在今年端午节的促销活动中，对6月2日时至14时

的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至

10时的销售额为3万元，则11时至12月的销售额为（ ）

A．8万元 B．10万元

C．12万元 D．15万元

5、甲：函数
是R上的单调递增函数；乙：
，则甲是乙的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6、运行如图所示的程序，若结束时输出的结果不小于3，则
的取值范围为（ ）

A．
B．
C．
D．

7、为得到函数
的图象，可将函数
的图象向左平移
个

单位长度，或向右平移
个单位长度
均为正数），则
的最小值是（ ）

A．
B．
C．
D．

8、已知非零向量
，且
为垂足，若
，

则
等于（ ）

A．
B．
C．
D．

9、已知
为区域
内的任意一点，当该区域的面积为4时，
的最大值是（ ）

A．6 B．0 C．2 D．

10、将一张边长为6
的纸片按如图1所示的阴影部分截去四个全等的等腰三角形，将剩余下部分沿虚线折叠并拼成一个有底的正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心）模型，如图2放置，若正四棱锥的正视图是正三角形（如图3），则正四棱锥的体积是（ ）

A．
B．
C．
D．

11、已知
为原点，双曲线
上有一点
，过
作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为
，平行四边形
的面积为1，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．
D．

12、已知函数
，若关于
的方程
有三个不同的实根，则实数
的取值范围是（ ）

A．
B．
C．
D．
或

第Ⅱ卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。.

13、二项式
的展开式中常数项为 （用数字作答）

14、已知
是定义在R上的偶函数，
且对任意
都有
，

则

15、已知三棱锥
的所有棱长都相等，现沿
桑涛侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为
，则三棱锥
的内切球的表面积为

16、已知等差数列
的通项公式为
，等比数列
中，
，记集合

，把集合
中的元素按从小到大依次排列，构成数列
，则数列
的前50项和

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

17、（本小题满分12分）

在
中，
的对边分别为
，且
。

（1）求
的值；

（2）若
，求边
。

18、（本小题满分12分）

在一块耕地上种植一种作物每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均均有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；

（2）若在这块地上连续3季种植词作物求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率

19、（本小题满分12分）

如图，在三棱柱
中，四边形
为菱形，
，四边形
为矩形若

（1）求证：
平面
；

（2）求二面角
的余弦值。

20、（本小题满分12分）

以椭圆
的中心
为圆心，以
为半径的圆称为该椭圆的“版随”，已知椭圆
的离心率为
，且过点
。

（1）求椭圆
及其“伴随”的方程；

（2）过点
作“伴随”的切线
交椭圆
于
两点，记
(
为坐标原点)的面积

为
，求
的最大值。

21、（本小题满分12分）

设函数

（1）若
在区间
上是单调递增函数，求实数
的取值范围；

（2）若函数
由两个极值点
且
，求证

请考生在第（22）、（23）（24）三体中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．

22、（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图所示，圆
的直径为BD，过圆上一点A作圆
的切线AE，过点D作DE
AE于点E，延长ED与圆
交于点C。

（1）证明：DA平分
BDE；

（2）若AB=4，AE=2，求CD的长。

23、（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系
中，以
为极点
轴正半轴为极轴建立坐标系，直线
的参数方程为
为参数），曲线
的方程为
，顶点
，点
是曲线
上的动点，
为
的中点。

（1）求点
的轨迹
的直角坐标方程；

（2）直线
与直线
交于
两点，若
，求实数
的取值范围。

24、（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数

（1）当
时，解不等式
；

（2）若存在
，使得
成立，求实数
的取值范围。