河北省唐山市海港高级中学2015届高三上学期10月月考数学（文）试题(2014.10.15)

第I卷

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．设全集
等于

A.
B.
C.
D.

2．设A，B为两个互不相同的集合，命题P：
， 命题q：
或
，则
是
的

A．充分且必要条件 B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分且非必要条件

3．函数
的值域是

A．
B．
C．
D．

4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若
，
，则角A=

A．
B.
C.
D.

5．设a＝()，b＝()，c＝()，则a、b、c的大小关系是A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

6．若O为
的内心，且满足
，则
的形状为

A．等腰三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．以上都不对

7．

在
处的切线斜率的最小值是

A．2 B．3 C．
D．

8．三棱锥
及其三视图中的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则棱SB的长为

A.
B.
C.
D.

9．已知函数
的图象向左平移
个单位后，得到函数
的图象，下列关于函数
的说法正确的是

A．图象关于点
中心对称 B．图象关于
轴对称

C．在区间
单调递增 D．在
单调递减

10．已知函数
的图象大致为

11．已知双曲线
（a＞0，b＞0）的两个焦点为
、
，点A在双曲线第一象限的图象上，若△
的面积为1，且
，
，则双曲线方程为

A．
B．
C．
D．

12．已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（4－x）= f（x），且当x∈
时，f（x）=则g（x）= f（x）－1g|x|的零点个数是

A．9 B．10 C．18 D．20

第Ⅱ卷

二、填空题：本大概题共4小题，每小题5分．

13．若ex＋ey＝1，则x＋y的取值范围是___________．

14．在区间[－2，3]上任取一个数a，则函数
有极值的概率为 ．

15．已知向量
与
的夹角为
°,且
,
,若
,且
,则实数
的值为__________.

16．函数
的定义域为
，其图象上任一点
满足
，则下列说法中

①函数
一定是偶函数； ②函数
可能是奇函数；

③函数
在
单调递增； ④若
是偶函数，其值域为

正确的序号为_______________．（把所有正确的序号都填上）

三、解答题：解答应写出文字说明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）已知函数
.

（Ⅰ）求函数f (x)的最小正周期；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c，且满足
，求f(B)的取值范围．

18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥
中，
,

，
.

（Ⅰ）求证
；

（Ⅱ）设点
在棱
上，且
，试求三棱锥
．

19．（本小题满分12分）已知等差数列
的首项
，公差
，等比数列
满足

（I）求数列
和
的通项公式；

（II）设数列
对任意
均有
，求数列
的前n项和
．

20．(本小题满分12分) 如图，椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）经过点P(1，)，离心率e＝，直线l的方程为x＝4．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？若存在求λ的值；若不存在，说明理由．



21．(本小题满分12分)设
和
是函数
的两个极值点，

其中
.

（1）若
，求
的取值范围；

（2）若n≥，求
的最大值(注是自然对数的底数)．

22．（本小题满分10分）选做题：考生只选做其中一题，三题全答的，只计前一题的得分。

A．（坐标系与参数方程选做题）已知在平面直角坐标系
中曲线
的参数方程为：
，（
为参数），以
为极轴建立极坐标系，直线l极坐标方程为：
.

（Ⅰ）写出直线l的标准参数方程（t为参数）；

（Ⅱ）求曲线
截直线l所得弦长．

B．（几何证明选讲选做题）如图，
是圆的直径，

是圆
的切线，切点为，
平行于弦
，

若
，
，求CD的长．

C．（不等式选讲）已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若p，q，r为正实数，且p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥ 3．

高二数学文科试题答案

一、CBCAC; ADBCA; AC

二、(－∞,－2ln2］;  ;
;② 解析：
的图象为双曲线，如图1：

图1①若函数
对应的图象为2，4象限部分的图象，如图2，

图2

则此时
为奇函数，∴①错误；②由①知函数
可能是奇函数，∴②正确；③如图2：函数y=f（x）在（1，+∞）单调递减，∴③错误；④若y=f（x）是偶函数，其图像有可能如图3，

图3

此时其值域为
，故④错误， 故答案为：②

三、17.【答案解析】（Ⅰ）


6分

（Ⅱ）由
可得
，即

，
所以

因为
，所以

12分．

18 (本小题满分12分）证明：（I）由
平面
得

，

又
,
，得四边形BCDE为正方形，

又
故
，

（Ⅱ）过
……………………7分

,

……9分

在直角三角形AEC中， CE=
,AC=
,得AE=6

=4 三棱锥

…………12分

19解析 ：解：(Ⅰ)由题意
且
成等比数列，

又
，
，

又

…5分

(Ⅱ)
， ①

又
， ②

①②得


………10分

当
时，

当
时，

所以，
………12分

20解：（Ⅰ）由P(1，)在椭圆上得，＋＝1． ①

依题意知a＝2c，则b2＝3c2． ②

②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3．

故椭圆C的方程为＋＝1．

（Ⅱ）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y＝k(x－1)． ③

代入椭圆方程3x2＋4y2＝12并整理，得(4k2＋3)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0．

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有

x1＋x2＝，x1x2＝． ④

在方程③中令x＝4得，M的坐标为(4，3k)．

从而k1＝，k2＝，k3＝＝k－．

注意到A，F，B共线，有k＝kAF＝kBF，即有＝＝k．

所以k1＋k2＝＋＝＋－(＋)

＝2k－·． ⑤

④代入⑤得k1＋k2＝2k－·＝2k－1，

又k3＝k－，所以k1＋k2＝2k3．故存在常数λ＝2符合题意．

21 (Ⅰ)解函数
的定义域为
,
.

依题意,方程
有两个不等的正根, (其中
).

故
. 所以,

故
的取值范围是

(Ⅱ)解

设t==n2 (其中
)

构造函数
(其中
),则
.

所以
在
上单调递减,
.

故
的最大值是

22. A t是参数，4

B 4

C a=3

备选题

18.（本小题满分12分）

如图，在梯形ABCD中，AB//CD，AD=DC=CB=a，
，平面
平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a.

（I）求证：
平面ACFE；

（II）求二面角B—EF—D的平面角的余弦值.

【答案解析】(Ⅰ)略（Ⅱ）
证明：(Ⅰ)在梯形
中，
，

,
四边形
是等腰梯形，

且

又平面
平面
，交线为
，

平面

（Ⅱ）由(Ⅰ)知,以点
为原点，
所在直线为
坐标轴,建立空间直角坐标系,则

过作
,

垂足为
. 令

由
得,
,
即

二面角
的大小就是向量
与向量
所夹的角.

，

即二面角
的平面角的余弦值为
.

17. (本小题满分12分)在
中,角
的对边分别为
,且
.

(Ⅰ) 求
的值；

(Ⅱ) 若
,
,求向量
在
方向上的投影.

【答案解析】（Ⅰ）
（Ⅱ）

解析 ：解：
由
,得

,

即
,

则
,即
6分

由
,得
,

由正弦定理,有
,所以,
.

由题知
,则
,故