江苏省赣榆高级中学2015届高三文科第四次检测

数学试卷

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．答案填在答题卡相应的位置上）

1.已知集合
，集合
，则
.

2.复数
（i是虚数单位）的实部是 ．

3.设命题
；命题
，那么
是
的 条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．充分不必要

4.从
这五个数中一次随机取两个数，其中一个数是另一个数的两倍的概率为 ．

5.已知
是不重合的两条直线，
是不重合的两个平面．下列命题：

①若
，
，则
∥
； ②若
，
，则
∥
；

③若
∥
，
，则
； ④若
∥
，
，则
∥
．

其中所有真命题的序号是 .②

6.已知一个三棱锥的所有棱长均相等，且表面积为
，则其体积为 ．

7.变量
满足
，设
，则
的取值范围是 ．

8.已知直线
及直线
截圆
所得的弦长均为
，则圆
的面积是 ．

9.己知抛物线
的焦点
恰好是双曲线
的右焦点，且两条曲线的交点的连线过点
，则该双曲线的离心率为　　　　．

10.已知函数
，则关于
的不等式
的解集是 ．

11.设
为
中线
的中点，
为边
中点，且
，若
，
．

12.已知数列
满足
，


，它的前
项和为
，若
，求
．

13.已知圆心角为
的扇形
的半径为
，
为弧
的中点，点
、
分别在半径
、
上．若
，则
的最大值是_________．

14.函数
的定义域为
，若满足①
在
内是单调函数，②存在
，使
在
上的值域为
，那么
叫做对称函数，现有
是对称函数，那么
的取值范围是 ．

二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）

15. （本题满分14分）已知

（1）求函数
的最小正周期；

（2）若
，且
，求
的值．

【思路分析】第（1）问利用倍角和降幂公式将
进行“化一”，再求函数的周期；第（2）问在三角化简求值中属“给值求值”类型，应综合条件式与目标式的特点，灵活进行角度配凑，选择公式．

【解析】（1）因为
，所以函数
的最小周期
．……（7分）

（2）因为
，所以
，又因为
，
所以
，即
．

=
．……（14分）

16．(本题满分14分) 如图，在四棱锥
中，底面
为直角梯形，

∥
，
，
，
，
为
的中点．

（1）求证：
平面
；

（2）已知点
为线段
的中点，证明：
∥平面
．

证明：⑴△PAD中，PA=PD，Q为AD中点，∴PQ(AD，

底面ABCD中，AD//BC，BC=AD,∴DQ//BC,DQ=BC

∴BCDQ为平行四边形，

由(ADC=900，∴(AQB=900，∴AD(BQ

由AD(PQ,AD(BQ,BQ∩PQ=Q,PQ、BQ(面PBQ

∴AD(平面PBQ ……(7分)

⑵连接CA,AC∩BQ=N,由AQ//BC,AQ=BC,∴ABCQ为平行四边形，

∴N为AC中点，

由(PAC中，M、N为PC、AC中点， ∴MN//PA

由MN(面BMQ，PA(面BMQ ∴面BMQ‖PA …… (14分)

17.(本题满分14分）

近年来玉制小挂件备受人们的青睐，某玉制品厂去年的年产量为
万件，每件小挂件的销售价格平均为
元，生产成本为
元，从今年起工厂投入
万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入
万元科技成本，预计产量每年递增
万件，设第
年每件小挂件的生产成本
元，若玉制产品的销售价不变，第
年的年利润为
万元（今年为第
年）

（1）求
的表达式；

（2）问从今年算起第几年的利润最高？最高利润为多少万元？

解（1）据题意，第
年产量为
（万件），销售额为100
（万元），科技成本为100
万元．

，
……（7分）

（2）令
，得

当且仅当
即
，亦即
时，取等号

故从今年起，第6年的利润最高，且最高利润为360（万元）……（14分）

18.(本题满分16分）

已知数列
的前
项和为
，且满足：
，

（1）求
的值；

（2）求证：数列
是等比数列，并求
通项公式；

（3）令
，
，如果对任意
，都有
，求实数
的取值范围.

【思路分析】（1）、（2）两问目标明确、思路清楚，第（3）问应是采用分离参数的方法解决恒成立问题，具体来说，就是解不等式
．

【解析】（1）
，……（3分）

（2）由题可知：
①

②……（5分）

②-①可得
……（6分）

即：
，又
……（8分）

所以数列
是以
为首项，以
为公比的等比数列．即
……（10分）

（3）由(2)可得
，

由
可得

由
可得
，

所以
，故
有最大值
，

所以，对任意
，有
……（13分）

如果对任意
，都有
，即
成立，

则
，故有：
， 解得
或
．

所以实数
的取值范围是
．……（16分）

19．（本题满分16分）

给定椭圆
，称圆心在坐标原点
，半径为
的圆是椭圆
的“伴随圆”． 若椭圆
的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
距离为
．

（1）求椭圆
及其“伴随圆”的方程；[来源:www.shulihua.net]

（2）若过点
的直线与椭圆
只有一个公共点，且截椭圆
的“伴随圆”所得的弦长为
，求
的值；

（3）过椭圆
“伴随圆”上一动点
作直线
，使得
与椭圆
都只有一个公共点，试判断直线
的斜率之积是否为定值,并说明理由.

解：（1）由题意得：
，半焦距
,则
椭圆C方程为
,“伴随圆”方程为
……(2分)

（2）则设过点
且与椭圆有一个交点的直线为
，则
整理得
,则
，解
① 7分

又因为直线截椭圆
的“伴随圆”所得的弦长为
，则有
化简得
② ……8分 联立①②解得，
，

所以
，
，则
…… (10分)

（3）当
都有斜率时，设点
其中
，设经过点
与椭圆只有一个公共点的直线为
，由
，消去
得到
…………12分

即
，
，

经过化简得到：
， ……14分

因为
，所以有
，设
的斜率分别为
，因为
与椭圆都只有一个公共点，所以
满足方程
，因而
，即直线
的斜率之积是为定值
……16分

20．（本题满分16分）

已知函数
（
为常数），其图象是曲线
．

（1）当
时，求函数
的单调递减区间；

（2）设函数
的导函数为
，若存在唯一的实数
，使得
与
同时成立，求实数
的取值范围；

（3）已知点
为曲线
上的动点，在点
处作曲线
的切线
与曲线
交于另一点
，在点
处作曲线
的切线
，设切线
的斜率分别为
．问：是否存在常数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．

20．(1)当
时，
. ……………1分

令f ((x)<0，解得
，所以f(x)的单调减区间为
． ……………2分

(2)
，由题意知
消去
，

得
有唯一解．……………4分

令
，则
，

所以
在区间
，
上是增函数，在
上是减函数，……………6分

又
，
，

故实数
的取值范围是
． ……………8分

(3)设
，则点
处切线方程为
，

与曲线
：
联立方程组，得
，

即

所以
点的横坐标
．……………12分

由题意知，
，
，

若存在常数
，使得
，则
，

即存在常数
，使得
，

所以
解得
，
． ……………15分

故
时，存在常数
，使
；
时，不存在常数
，使
．

……………16分