时杨中学2015届高三1月调研数学试题

一、填空题：

1．若复数
满足
(为虚数单位),则
___▲___.

2．某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,产品数量之比为347,现用分层抽样的方法抽取

容量为
的样本,样本中A型号产品有15件,那么样本容量
为___▲____．

3．已知向量
若
则实数
▲ ．

4．某算法的伪代码如下图所示,若输出y的值为3,则输入x的值为___▲___.

5．已知
是等差数列，若
，则
的值是 ▲ .

6．已知函数
在
时取得最小值,则
▲ .

7．若
，则
的值是 ▲ ．

8．在平面直角坐标系
中,直线
被圆

截得的弦长为 ▲ ．

9．如图，在正三棱柱
中，若各条棱长均为2，且M

为
的中点，则三棱锥
的体积是 ▲ ．

10．设函数
是定义在
上的奇函数，当
时，
，

则关于
的不等式
的解集是 ▲ ．

11．已知函数
的图象关于直线
对称，且
则
的最小值为______▲____

12．如图，在矩形
中，
点
为
的中点，

点
在边
上，

若
，则
的值是 ▲ ．

13.在平面直角坐标系
中，直线
是曲线
的切线，

则当
＞0时，实数
的最小值是 ▲ ．

14．在正项等比数列
中，
，则满足
的最大正整数n的值为 ▲ ．

二、解答题

15．已知
的内角
的对边分别为
，
．

（1）若
，
，求
的值； （2）若
，求
的值．

16．如图，在四棱锥
中，底面
是菱形，且
．

（1）求证：
；（2）若平面
与平面
的交线为
，求证：
．

17．如图是一个半圆形湖面景点的平面示意图．已知
为直径，且
km,
为圆心，
为圆周上靠近
的一点，
为圆周上靠近
的一点，且
∥
．现在准备从
经过
到
建造一条观光路线，其中
到
是圆弧
，
到
是线段
.设
，观光路线总长为
.

（1）求
关于
的函数解析式，并指出该函数的定义域；

（2）求观光路线总长的最大值.

18.如图,在平面直角坐标系
中,
分别是椭圆
的左、右焦点，顶点
的坐标为
，连结
并延长交椭圆于点A，过点A作
轴的垂线交椭圆于另一点C，连结
.

（1）若点C的坐标为
,且
,求椭圆的方程；（2）若
求椭圆离心率e的值.

19．设等比数列
的首项为
公比为
为正整数），且满足
是
与
的等差中项；数列
满足

（1）求数列
的通项公式；（2）试确定
的值，使得数列
为等差数列.

20．已知函数
在
时取得极小值．

（1）求实数
的值； （2）是否存在区间
，使得
在该区间上的值域为
？若存在，求出
，
的值；若不存在，说明理由．

数学参考答案与评分标准

数学Ⅰ 必做题部分

一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需写出解题过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）

二、解答题 本大题共6小题， 15~17每小题14分，18~20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．（1）由余弦定理得，
， …………………………3分

因为
，
，
，

所以
，即
…………………………5分

解之得
，
（舍去）．

所以
. ……………………………7分

所以
，
…………………………………………7分

(2)记
,则
， ………………………………9分

令
，得
， ………………………………………………11分

列表

x

(0，
)



(
，
)





＋

0

－



f (x)

递增

极大值

递减



所以函数
在
处取得极大值，这个极大值就是最大值，…………13分

即
，

答：观光路线总长的最大值为
千米． ……………………………14分

19．（Ⅰ）因为
,所以
，

解得
（舍），则
-------------????? 3分

又
，所以
----------------------------5分

（Ⅱ）由
，得
，

所以
,则由
，得
????------------????? 8分

而当
时，
，由
（常数）知此时数列
为等差数列?-------------?? 10分

20．（本小题满分16分）

【解】（1）
，

由题意知
，解得
或
． …………………………… 2分

当
时，
，

易知
在
上为减函数，在
上为增函数，符合题意；

当
时，
，

易知
在
上为增函数，在
，
上为减函数，不符合题意．

所以，满足条件的
． …………………………… 5分

（2）因为
，所以
． …………………………… 7分

① 若
，则
，因为
，所以
． …………… 9分

设
，则
，

所以
在
上为增函数．

由于
，即方程
有唯一解为
．…………………………… 11分

② 若
，则
，即
或
．