上海市宝山区2015届高三上学期期末质量监测

数学试题

一.（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，要求直接填写结果，每题填对3分，否则一律得 0 分．

1. 函数
的周期是 ．

2.计算
= ．

3.计算

＝ ．

4.二项式
展开式中，
的系数为 ．

5．设矩阵
，
，若

，则
.

6．现有6位同学排成一排照相，其中甲、乙二人相邻的排法有 种.

7．若
，
，则
．

8.若一个球的体积为
，则它的表面积为__________．

9.若函数
是
上的偶函数，则
的值是 ．

10.正四棱锥
的所有棱长均相等，
是
的中点，那么异面直线
与
所成的角的余弦值等于 ．

11.直线
被曲线

所截得的弦长等于 ．

12.已知函数
的部分图像如图所示，

则
的解析式是
．

二．选择题（本大题满分 36 分）本大题共有 12 题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的．考生必须把正确结论的代码写在题后的括号内，选对得 3分，否则一律得 0 分．

13．已知点
在第三象限，则角
的终边在（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

14．已知函数
，
是增函数，则　（　 ）

（A）
，
是任意实数? 　　 （B）
，
是任意实数? 　　? 　　

（C）
，
是任意实数?　　　　　（D）
，
是任意实数

15．在
中，若
，则这个三角形中角
的值是（　　）

（A）
或
　　（B）
或
　　（C）
或
　　（D）
或

16.若
，则（ ）

17.双曲线
-
=1的焦点到渐近线的距离为（ ）

（A）
（B）2 （C）
（D）1

18.用数学归纳法证明等式
（n∈N*）的过程中，第二步假设n=k时等式成立，则当n=k+1时应得到（ ）

?　（A）

（B）

（C）

（D）

19.设
（
是虚数单位），则复数
对应的点位于（ ）

（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限w.w.w..c.o.m

20.圆
在点
处的切线方程为 ( )

（A）
（B）

（C）
（D）

21.“
”是“
”的（ ）

（A）充分非必要条件； （B）必要非充分条件；

（C）充要条件； （D）既非充分又非必要条件.

22. 在四边形ABCD中,
,
,则四边形的面积为（　 ）

（A）
（B）
（C）5 （D）10

23．函数
的反函数是（　　）

（A）
（B）

（C）
（D）

24．曲线
的部分图像是（　　）

（B）

(C) （D）

三、解答题（本大题满分 48 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

25.（本题满分 8 分）

解不等式组

26.（本题满分 8 分）

如图，正四棱柱
的底面边长
，

若异面直线
与
所成角的大小为
，求正四棱

柱
的体积.

27．（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．

已知点
为抛物线
的焦点，点
是准线
上的动点，直线
交抛物线
于
两点，若点
的纵坐标为
，

点
为准线
与
轴的交点．

(1)求直线
的方程；

(2)求
面积
的取值范围．

28.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．

已知函数
．

（1）写出函数
的奇偶性；

（2）当
时，是否存实数
，使
的图像在函数
图像的下方，若存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由．

29.（本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3 分，第 2 小题满分4分，第 3 小题满分5分．

已知抛物线
，过原点作斜率为1的直线交抛物线于第一象限内一点
，又过点
作斜率为
的直线交抛物线于点
，再过
作斜率为
的直线交抛物线于点
，
，如此继续。一般地，过点
作斜率为
的直线交抛物线于点
，设点
．

（1）求
的值；

（2）令
，求证：数列
是等比数列；

（3）记
为点列
的极限点，求点
的坐标．

四、附加题（本大题满分 30 分）本大题共有 3 题，解答下列各题必须写出必要的步骤．

30.（本题满分 8 分）

有根木料长为6米，要做一个如图的窗框，已知上框架与下框

架的高的比为1∶2，问怎样利用木料，才能使光线通过的窗框面积

最大（中间木档的面积可忽略不计）.

31.（本题满分 10 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分6分．

在平面直角坐标系
中，点
到两点
、
的距离之和等于4．设点
的轨迹为
．

(1)写出轨迹
的方程；

(2)设直线
与
交于
、
两点，问
为何值时
此时|
|的值是多少？

32．（本题满分 12 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 3分，第 2 小题满分 4分，第 3小题满分5 分．

设数列
的首项
为常数，且
．

（1）证明：
是等比数列；

（2）若
，
中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由．

（3）若
是递增数列，求
的取值范围．

二．选择题

13．（ B ） 14．（A?） 15．（D） 16.（B） 17.（ A ） 18.（ B ）

19.（ A ） 20. ( D ) 21.（ B ） 22.（ C ） 23.（D） 24．（　C　）

三、解答题

25. 由题意得：

由（1）解得
………………………………………………………3分

由（2）解得
…………………………………………………………6分

所以，不等式解集为（3,4） ………………………………………8分

26.

且
………………………………………4分

………………………………6分

………………………8分

27． 解：（1）由题知点
的坐标分别为
，
，

于是直线
的斜率为
， ………………………………………2分

所以直线
的方程为
，即为
． …………………4分

（2）设
两点的坐标分别为
，

由
得
，

所以
，
． ……………………………………6分

于是
． ………………………………………7分

点
到直线
的距离
， ………………………8分

所以
.

因为

且
，于是
，所以
的面积
范围是
．……10分

28.解：（1）因为
的定义域为
，所以 …………………………1分

当
时，
是奇函数； ……………………………2分

当
时，
是非奇非偶函数． ………………………4分

（2）若
的图像在函数
图像的下方，

则
，化简得
恒成立， ………………………………6分

因为
， ……………………………………………………………8分

所以，当
时，
的图像都在函数
图像的下方．……10分

29. 解：（1）直线
的方程为
，由　
解得
，……1分

直线
的方程为
，即

由　
得
，…………………………………2分

直线
的方程为
，即

由　
解得，

所以
． ………………………………………………………3分

（2）因为
，
，由抛物线的方程和斜率公式得到

………………………………………………5分

所以
，两式相减得
…………………………6分

用
代换
得
，

由（1）知，当
时，上式成立，

所以
是等比数列，通项公式为
． ……………………………………7分

（3）由
得，

，
，……，
， ……………………8分

以上各式相加得
，……………………………………………………10分

所以
，
．

即点
的坐标为
． ……………………………………………………………12分

四、附加题

30. 解：如图设x, 则竖木料总长= 3x + 4x = 7x, 三根横木料总长= 6 (7x

∴窗框的高为3x，宽为
． ……………………………2分

即窗框的面积 y = 3x ·
=(7x2 + 6x ( 0 < x <
) ……5分

配方：y =
( 0 < x < 2 ) ……………………7分

∴当x =
米时，即上框架高为
米、下框架为
米、宽为1米时，光线通过窗框面积最大. …………………………………………………………………………8分

31. 解：（1）设P（x，y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹
是以
为焦点，长半轴为2的椭圆. ………………………………………………………………2分

它的短半轴

故曲线C的方程为
．………………………………………………………4分

（2）设
，其坐标满足

消去y并整理得
，

故
． …………………………………………5分

由
，即
． ………………………………………………6分

而
，

于是
．

所以
时，
，故
．…………………………………8分

当
时，
，
．

，

而

，

所以
．……………………………………………………………10分

32． 证明：（1）因为
，所以数列
是等比数列；……3分

（2）
是公比为－2，首项为
的等比数列．

通项公式为
， …………………4分

若
中存在连续三项成等差数列，则必有
，

即

解得
，即
成等差数列． ………………………………………7分

（3）如果
成立，即
对任意自然数均成立．

化简得
…………………………………………9分

当
为偶数时
,

因为
是递减数列，所以
，

即
； ……………………………………………………………10分

当
为奇数时，
,因为
是递增数列，

所以
，即
；………………………………………11分

故
的取值范围为
． …………………………………………………12分