一、选择题：（每小题5分，共计50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1.已知
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

2.“
”是“
”的(　　)条件

A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要

3.函数
的定义域是

A．
B．
C．
D．

4.已知
是夹角为
的两个单位向量，若向量
，则

A．2　 B．4 C．5 D．7

5．已知等差数列
中，
是方程
的两根，则

A．
　 B．
C．1007 D．2014

6. 函数
的零点所在的一个区间是

A．
B．
C．
D．

7.在
中，角
的对边分别为
，已知命题
若
，则
；命题
若
，则
为等腰三角形或直角三角形，则下列的判断正确的是

为真 B.
为假 C.
为真 D.
为假

8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A．
　 B．
C．16 D．32

9.设对任意实数
，不等式
总成立．则实数的取值范围是

A．
B．
C．
D．

10.过双曲线
的左焦点
作圆
的切线，切点为，延长
交抛物线
于点．若
，则双曲线的离心率为

A．
B．
C．
D．

二、填空题：（每小题5分，共计25分，把答案填在答题卡的相应位置．）

11.复数
（是虚数单位），则
.

12.设
为定义在上的奇函数，当
时，
（为实常数），

则
.

13.不等式组
所表示的平面区域面积为 .

14．如图是某算法的程序框图，若任意输入
中的实数，

则输出的大于
的概率为 .

设
与
是定义在同一区间
上的两个函数，若函数
在
上有两个不同的零点，则称
和
在
上

是“关联函数”，区间
称为“关联区间”．若
与
在[0,3]

上是“关联函数”，则的取值范围是 .

x

2

3

4

5



Y

18

27

32

35



三、解答题：（本大题共6小题，共计75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）16.某公司近年来科研费用支出万元与公司所获得利润万元之间有如下的统计数据：

（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程
；

（2）试根据（1）求出的线性回归方程，预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润．

参考公式：用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式：

参考数据：2×18+3×27+4×32+5×35=420

17.已知
．

（1）若
，求曲线
在点
处的切线方程；

（2）若
求函数
的单调区间.

18.先将函数
的图象上所有的点都向右平移
个单位，再把所有的点的横坐标都伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数
的图象.

（1）求函数
的解析式和单调递减区间；

（2）若为锐角三角形的内角，且
，求
的值.

19.已知三棱锥
中，
⊥
，
,
为
的中点，为
的中点，且△
为正三角形．

（1）求证：
⊥平面
；

（2）若
，
，求三棱锥
的体积
．

20.已知数列
中，
点
在直线
上，其中
.

（1）求证：
为等比数列并求出
的通项公式；

（2）设数列
的前
且
，令

的前项和
。

21.已知椭圆
过点
，其焦距为.

（1）求椭圆
的方程；

（2）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为
，则椭圆在其上一点
处的切线方程为
，试运用该性质解决以下问题：

（i）如图（1），点为
在第一象限中的任意一点，过作
的切线
，
分别与轴和轴的正半轴交于
两点，求
面积的最小值；

（ii）如图（2），过椭圆
上任意一点作
的两条切线
和
，切点分别为
.当点在椭圆
上运动时，是否存在定圆恒与直线
相切？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.

答案：

解答题

16.解析：(1)
，

，

， ………………………………………5分

………………………9分

所求线性回归方程为:
． ………………………………10分

（2）当
时,
(万元)，

故预测该公司科研费用支出为10万元时公司所获得的利润为64.4万元………………13分

17.（1）
∴
∴

∴

， 又
，

所以切点坐标为
∴ 所求切线方程为
，即
. …………… 6分

（2）

由
得
或
…………… 8分

，由
， 得
．

由
， 得
或
…………… 11分

此时
的单调递减区间为
，单调递增区间为
和
. ……13分

19.（1）证明：∵△PMB为正三角形，

且D为PB的中点，∴MD⊥PB．

又∵M为AB的中点，D为PB的中点，

∴MD//AP，∴AP⊥PB．

又已知AP⊥PC，∴AP⊥平面PBC，

∴AP⊥BC，又∵AC⊥BC，
，

∴BC⊥平面APC， …………… 6分

（2）解：有
.

∵AB=10，∴MB=PB=5，又BC=3，
，
，

∴
．

又
，
． …………… 12分

20.(1)
代入直线
中，有
+1=2,

,

…………… 4分

(2)

两式作差，

…………… 8分

；
………12分

21.（1）解：依题意得：椭圆的焦点为
，由椭圆定义知：

，

所以椭圆
的方程为
. …………… 4分

（ii）设
，则椭圆
在点
处的切线为：

又
过点
，所以
，同理点
也满足
，

所以
都在直线
上，

即：直线MN的方程为
　

所以原点O到直线MN的距离

，所以直线MN始终与圆
相切.…………… 12分