2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷（理科）

考生注意：

1、本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分。

2、答题前，考生务必在试卷和答题纸的指定位置以及答题卡上准确填写学校、姓名、

考号等信息。

3、考试结束只交答题卡和答题纸。

一、填空题：（本大题共14题，每题4分，共56分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．）

1．已知
为角
终边上的一点，则
．

2．已知向量
，若
，则
＝________．　

3．已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围是 ．

4．已知幂函数
过点
，则
的反函数为
．

5．若无穷等比数列
满足：
，则首项
的取值范围为 ．

6．若直线
平分圆
的面积，则直线
的倾斜角为 ．（用反三角函数值表示）

7．已知偶函数
在
上满足：当
且
时，总有
，则不等式
的解集为 ．

8．如图所示为函数
(
)的部

分图象,其中
，那么

___________.

9. 已知函数
，若对任意的
，不等式

恒成立，则实数
的取值范围是 .

10. 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点
，并且经过点
，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则
．

11. 在正
中，
是
上的点，若
，则
．

12．已知奇函数
是定义在
上的增函数，数列
是一个公差为2的等差数列，满足

，则
的值为 ．

13．过点
且方向向量为
的直线交双曲线
于
两点，记原点为
，
的面积为
，则
____ ____．

14. 设
，其中
成公比为
的等比数列，
成公差为1的等差数列，则
的最小值是____ ____．

二、选择题：（本大题共4题，每题5分，共20分，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.）

15．已知命题
，命题
，则命题
是命题
成立的（ ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

16．已知直线
和直线
，则下述关于直线
关系的判断正确的是（　 ）

A. 通过平移可以重合 B. 不可能垂直

C. 可能与
轴围成等腰直角三角形 D. 通过绕
上某点旋转可以重合

17．某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数
与该班人数
之间的函数关系用取整函数
（其中
表示不大于
的最大整数）可以表示为（ ）

A．
B．
C．
D．

18. 设
，定义运算“
”和“
”如下：
，
．若正数
满足
，则（ ）

A．
B．

C．
D．

三、解答题：（本大题满分74分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 .）

19.（本题满分12分）第1小题满分7分，第2小题满分5分．

在
中，角
的对边分别为
，向量
，
，且
．

（1）求
的值；

（2）若
，求角
的大小及向量
在
方向上的投影．

20.（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知椭圆
长轴的一个端点是抛物线
的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1．

（1）求椭圆
的标准方程；

（2）若
、
是椭圆
的左右端点，
为原点，
是椭圆
上异于
、
的任意一点，直线
、
分别交
轴于
、
，问
是否为定值，说明理由．

21.（本题满分14分）第1小题满分8分，第2小题满分6分．

等差数列
的前
项和
，数列
满足
．同学甲在研究性学习中发现以下六个等式均成立：

①
； ②
；

③
；④
；

⑤
；⑥
．

（1）求数列
的通项公式，并从上述六个等式中选择一个，求实数
的值；

（2）根据（1）计算结果，将同学甲的发现推广为关于任意角
的三角恒等式，并证明你的结论．

22.（本题满分16分）第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

若函数
在定义域内存在实数
，满足
，则称
为“局部奇函数”．

（1）已知函数
，试判断
是否为“局部奇函数”？并说明理由；

（2）设
是定义在
上的“局部奇函数”，求实数
的取值范围；

（3）若
为定义域
上的“局部奇函数”，求实数
的取值范围．[来源:

23.（本题满分18分）第1小题满分5分，第2小题满分7分，第3小题满分6分．

由下面四个图形中的点数分别给出了四个数列的前四项，将每个图形的层数增加可得到这四个数列的后继项．按图中多边形的边数依次称这些数列为“三角形数列”、“四边形数列”…，将构图边数增加到
可得到“
边形数列”，记它的第
项为
．

1，3，6，10 1，4，9，16 1，5，12，22 1，6，15，28

（1）求使得
的最小
的取值；

（2）试推导
关于
、
的解析式；

（3）是否存在这样的“
边形数列”，它的任意连续两项的和均为完全平方数．若存在，指出所有满足条件的数列，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

2014学年第一学期高三数学五校联合教学质量调研试卷答案 （理科）

一、填空题

1、
2、
3、

4、
5、
6、

7、
8、
9、

10、
11、
12、

13、
14、

二、选择题

15、
16、
17、
18、

三、简答题

19、（1）由
…3分

又
，则
…6分

（2）由
…7分

又
…8分

由余弦定理，得
或
（舍） …10分

则
在
方向上的投影为
…12分

20、（1）根据条件可知椭圆的焦点在
轴，且
， …2分

又
，所以

故椭圆
的标准方程为
． …6分

（2）设
，则
，且

又直线
，直线
…10分

令
，得：

故

为定值. …14分

21、（1）当
时，
…1分

当
时，
…3分

∵当
时，
适合此式 ∴数列
的通项公式为
…5分

选择②，计算如下：
…6分

＝

＝
＝
…8分

（2）由（1）知，
，

因此推广的三角恒等式为
…10分

证明:

=

=

=
＝
…14分

22、（1）
为“局部奇函数”等价于关于
的方程
有解．

即
有解 …2分

因
，得

为“局部奇函数”． …4分

（2）存在实数
满足
，即
在
有解

令
，

则
在
上有解 …7分

因为
在
上递减，在[1,2]上递增，

，故
…10分

（3）存在实数
满足
，

即
在
有解

令
，且

从而
（*）在
上有解 …12分

若
，即
时，则方程（*）在
上有解

若
，即
或
时，结合图像，方程（*）有解，则

综上，所求
的取值范围为
． …16分

23、（1）
…3分

由题意得
,

所以，最小的
. …5分

（2）设
边形数列所对应的图形中第
层的点数为