高三学科测试

数学试题（理科）

考斯时间 120分钟 满分150分

一、填空题：（本大题56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、已知集合
，则

2、椅子
，则

3、在复平面中，复数
是虚数单位）对应的点在第 象限

4、函数
的最小正周期是

5、已知函数
，则

6、已知
，若
，则

7、满足
的实数
的取值范围是

8、设
是
的展开式中
的一次项的系数，若
，则
的最小值是

9、若存在整数
使
成立，则实数
的取值范围是

10、某班班会准备从甲、乙等7名学生中选4名学生发言，要求甲、乙至少有一人参加，那么不同的发言顺序的种数为 （用数字作答）

11、已知函数
，若当
时，
能取到最小值，则实数
的取值范围是

12、已知数列
中，
，若
是5的倍数，且
，则

13、如果一个正整数能表示为连个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”，则区间
内的所有“神秘数”之和为

14、已知
，
，直线
与函数
的图象从左至右相交于点
，直线
与函数
的图象从左至右相交于点
，记线段
和
在
轴上的投影程长度分别为
，当
变化时，
的最小值是

二、填空题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，Ian高代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分。

15、设
表示复数
的共轭复数，则与“复数
为实数”不等价的说法是（ ）

A．
B．
C．
D．
表示复数
的虚部）

16、在
中，内角
所对的边分别为
，则“
”是“
是以
为底角的等腰三角形”的（ ）

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件

17、函数
的图象可看成将函数
的图象（ ）

A．向左平移
个单位得到 B．各点纵坐标不变，横坐标伸长的原来的4倍得到

C．向右平移
个单位得到 D．各点纵坐标不变，横坐标缩短的原来的
倍得到

18、如图所示，医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体，开始输液时，滴管为匀速滴下液体（滴管内液体忽略不计），设输液开始后
分钟，瓶内液面与进气管的距离为
厘米，已知当
时，
如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，则函数
的大致图象为（ ）

三、解答题：（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。

19、（本小题满分12分）

已知二次函数
，若不等式
的解集为

（1）解关于
的不等式：
；

（2）是否存在实数
，使得关于
的函数
的最小值为-4？

若存在，求
的值；若不存在，说明理由。

20、（本小题满分12分）

某同学用“五点法”画函数
在某一个周期的图象时，列表并填入的部分数据如下表：















0













0



0



0



（1）请写出上表的
，并直接写出函数的解析式；

（2）设
，当
时，求
的单调增区间。

21、（本小题满分12分）

某环境保护部门对某处的环境状况用“污染质素”来检测，据测定，该处的“污染指数”与附近污染源的强度和距离之比成正比，比例系数为常数
，现已知相距36
的
两家化工厂（污染源）的污染强度分别为1和
，它们连线段上任意一点
处的污染指数
等于两化工厂对该处的污染指数之和，设
。

（1）试将
表示为
的函数，指出其定义域；

（2）当
时，
处的“污染指数”最小，试求
化工厂的污染强度
的值。

22、（本小题满分16分）

已知数列
的各项均为正数，记

（1）若
，求
；

（2）若
，且对任意
，
都是
与
的等差中项，求数列
的通项公式；

（3）已知命题：“若数列
是公比为
的等比数列，则对任意
，
都是公比为
的等比数列”是真命题，试写出该命题的逆命题，判断真假，并证明。

23、（本小题满分18分）

已知
是满足下列条件的集合：①
;②若
，则
；③若
且
，则
；

（1）判断
是否正确，说明理由；

（2）证明：“
”是“
”的充分条件，其中
是正整数数集；

（3）证明：若
，则