辽宁省沈阳二中2015届高三上学期期中考试数学理试题

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第I卷（60分）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．若复数(
)＋(
)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数＝ (　 　)

A．±1　　　　 B．－1 C．0 D．1

2. 已知集合
，
，则
( )

A．{｜0＜＜
}　B.{｜
＜＜1}　 C.{｜0＜＜1}　D.{｜1＜＜2}　

3. 下列有关命题的说法正确的是 ( )

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
” 是“
”的必要不充分条件.

C．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题.

D．命题“
使得
”的否定是：“
均有
”．

4. 已知各项均为正数的等比数列
中，
成等差数列，则
（ ）

A. 27 B.3 C.
或3 D.1或27

5. 函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ( )

A．
　　 　 B．
　　　C．
　　　D．

6. 已知
,则
( )

A．

B．
C．
D．

7. 已知x，y满足
记目标函数
的最小值为1，最大值为7，则
的值分别为 （ ）

A. -1，-2 B. -2，-1 C. 1，2 D. 1，-2

8．已知等比数列
满足
＞0，＝1,2，…，且
，则当≥1时，

＝ （ ）

A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2

9.已知x∈，且函数f(x)＝的最小值为b，若函数g(x)＝，则不等式g(x)≤1的解集为 (　 　)

A. B. C. D.

10. 如图，长方形
的长
，宽
，线段
的长度为1，端点
在长方形
的四边上滑动，当
沿长方形的四边滑动一周时，线段
的中点所形成的轨迹为
，记
的周长与
围成的面积数值的差为，则函数
的图象大致为 （ ）

11．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有 (　 　)

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

12.函数
，在定义域
上表示的曲线过原点，且在
处的切线斜率均为
.有以下命题：

①
是奇函数；②若
内递减，则
的最大值为4；③
的最大值为M，最小值为m，则
；④若对
恒成立，则
的最大值为2.其中正确命题的个数为 （ ）

1个 B.2个 C.3个 D.4个

第Ⅱ卷（90分）

二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.

13.. 若函数
在上可导，
，则
.

14. 若
且
，则
的最小值为 .

15. 若数列
是等差数列，对于
，则数列
也是等差数列。类比上述性质，若数列
是各项都为正数的等比数列，对于
，则
= 时，数列
也是等比数列.

16. 已知函数
，若存在实数
，满足
，其中
，则
的取值范围是 .

三、解答题：本大题共六个大题，满分70分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

（1）已知
，且
，求
的值；

（2）已知为第二象限角，且
，求
的值.

18. (本题满分12分)在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

且
.

(Ⅰ)求角
的大小； (Ⅱ)若
的最大值．

19．（本题满分12分）

设数列
是等差数列，数列
的前项和
满足
且

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式：

（Ⅱ）设
，设
为
的前n项和，求
.

20.（本题满分12分）

已知二次函数

，若不等式
的解集为C.

（1）求集合C；

（2）若方程

在C上有解，求实数的取值范围.

21.（本题满分12分）

如图，
、
、…、

是曲线：
上的个点，点
（
）在轴的正半轴上，且
是正三角形（
是坐标原点）．

（1）写出
、
、
；

（2）求出点
（
）的横坐标
关于的表达式并证明.

22.（本题满分12分）

已知函数
在
处的切线与直线
垂直，函数
．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）若函数
存在单调递减区间，求实数b的取值范围；

（Ⅲ）设
是函数
的两个极值点，若
，求
的最小值．

沈阳二中2014——2015学年度上学期期中考试

高三（15届）理科数学试题答案

选择题：1. B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.D 10.C 11.B 12.B

填空题：13.-4 14.

15.
提示：等差数列类比到等比数列，算术平均数
类比到几何平均数
.

16.

三、解答题：

17.

18.解：(Ⅰ)由a－2csin A＝0及正弦定理，

得sin A－2sin Csin A＝0(sin A≠0)，（1分）

∴sin C＝，（4分）∵△ABC是锐角三角形，

∴C＝ （6分）

(Ⅱ)∵c＝2，C＝，由余弦定理，a2＋b2－2abcos ＝4，

即a2＋b2－ab＝4 （8分）

∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3·2，即(a＋b)2≤16，（10分）

∴a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2取“＝”（11分）

故a＋b的最大值是4.（12分）

19.解： (1)
, (3分)
. （3分）

（2）
.（12分）

20. 解: （1）
------------------------------1分

当
时，


------------------3分

当
时，


--------------5分

所以集合
---------------6分

（2）


，令

则方程为

---------------7分

当
时，
，
在
上有解，

则


-----------------9分

当
时，
，
在
上有解，

则


------------------------11分

所以，当
或
时，方程在C上有解，且有唯一解。-----------12分

21.解：

（1）
………………3分

（2）依题意，得
，由此及
得

，

即
．

由（Ⅰ）可猜想：
．………6分

下面用数学归纳法予以证明：

（1）当
时，命题显然成立；………7分

（2）假定当
时命题成立，即有
，则当
时，由归纳假设及

得
，即

，

解之得

（
不合题意，舍去），

即当
时，命题成立．

由（1）、（2）知：命题成立．………………12分

22. 解：（Ⅰ）∵
，∴
.-----------------------1分

∵与直线
垂直，∴
，∴
.--------------3分

------7分