辽宁省沈阳二中2015届高三上学期期中考试数学文试题

命题人： 高三数学组 审校人： 高三数学组

说明：1.测试时间：120分钟 总分：150分

2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上

第I卷（60分）

一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.直线
的倾斜角的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

2. 已知集合
，
，则
( )

A．{｜0＜＜
}　B.{｜
＜＜1}　 C.{｜0＜＜1}　D.{｜1＜＜2}　

3. 下列有关命题的说法正确的是 ( )

A．命题“若
，则
”的否命题为：“若
，则
”．

B．“
” 是“
”的必要不充分条件.

C．命题“若
，则
”的逆否命题为真命题.

D．命题“
使得
”的否定是：“
均有
”．

4. 已知各项均为正数的等比数列
中，
成等差数列，则
（ ）

A. 27 B.3 C.
或3 D.1或27

5. 函数
的定义域为
，则函数
的定义域为 ( )

A．
　　 　 B．
　　　C．
　　　D．

6. 已知
,则
( )

A．

B．
C．
D．

7. 已知x，y满足
记目标函数
的最小值为1，最大值为7，则
的值分别为 （ ）

A. -1，-2 B. -2，-1 C. 1，2 D. 1，-2

8．已知等比数列
满足
＞0，＝1,2，…，且
，则当≥1时，

＝ （ ）

A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2

9.已知x∈，且函数f(x)＝的最小值为b，若函数g(x)＝，则不等式g(x)≤1的解集为 (　 　)

A. B. C. D.

10.设 F1，F2是双曲线C：
(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1的直线与的左、右两支分别交于A，B两点．若 | AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为（ ）

A．
B．
C．2 D．

11．若曲线f(x，y)＝0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f(x，y)＝0的“自公切线”．下列方程：①x2－y2＝1；②y＝x2－|x|；③y＝3sin x＋4cos x；④|x|＋1＝对应的曲线中存在“自公切线”的有 (　 　)

A．①② B．②③ C．①④ D．③④

12.函数
，在定义域
上表示的曲线过原点，且在
处的切线斜率均为
.有以下命题：

①
是奇函数；②若
内递减，则
的最大值为4；③
的最大值为M，最小值为m，则
；④若对
恒成立，则
的最大值为2.其中正确命题的个数为 （ ）

1个 B.2个 C.3个 D.4个

第Ⅱ卷（90分）

二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分.

13.. 若函数
在上可导，
，则
.

14. 若
且
，则
的最小值为 .

15.抛物线C的顶点在原点，焦点F与双曲线
的右焦点重合，过点P（2,0）且斜率为1的直线
与抛物线C交于A,B两点，则弦AB的中点到抛物线准线的距离为_______

16.对于实数a,b,定义运算
：
设
，且关于x的方程
恰有三个互不相等的实数根
，则
的取值范围是___________

三、解答题：本大题共六个大题，满分70；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.（本题满分10分）

（1）已知
，且
，求
的值；

（2）已知为第二象限角，且
，求
的值.

18. (本题满分12分)在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，

且
.

(Ⅰ)求角
的大小； (Ⅱ)若
的最大值．

19．（本题满分12分）

设数列
是等差数列，数列
的前项和
满足
且

（Ⅰ）求数列
和
的通项公式：

（Ⅱ）设
，设
为
的前n项和，求
.

20.（本题满分12分）

设椭圆C：
的离心率
，右焦点到直线
的距离
，O为坐标原点.（1）求椭圆C的方程；

（2）过点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C分别交于A,B两点，证明：点O到直线AB的距离为定值，并求弦AB长度的最小值。

21.（本题满分12分）

已知函数
，在点(1,f(1))处的切线方程为y+2=0.

(1)求函数f(x)解析式；

（2）若对于区间[-2,2]上的任意两个自变量
都有
，求实数c的最小值；

（3）若过点M（2，m）(m2)可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围；

22.（本题满分12分）

已知函数
（
均为正常数），设函数
在
处有极值.

（1）若对任意的
，不等式
总成立，求实数
的取值范围；

（2）若函数
在区间
上单调递增，求实数的取值范围.

沈阳二中2014——2015学年度上学期期中

高三（15届）文科数学试题答案

选择题：1. B 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.A 8.A 9.D 10.A 11.B 12.B

填空题：13.-4 14.
15..11 16.

三、解答题：

17.

18.解：(Ⅰ)由a－2csin A＝0及正弦定理，

得sin A－2sin Csin A＝0(sin A≠0)，（1分）

∴sin C＝，（4分）∵△ABC是锐角三角形，

∴C＝ （6分）

(Ⅱ)∵c＝2，C＝，由余弦定理，a2＋b2－2abcos ＝4，

即a2＋b2－ab＝4 （8分）

∴(a＋b)2＝4＋3ab≤4＋3·2，即(a＋b)2≤16，（10分）

∴a＋b≤4，当且仅当a＝b＝2取“＝”（11分）

故a＋b的最大值是4.（12分）

19.解： (1)
, (3分)
. （3分）

（2）
.（12分）

20. (1)

(2)设A
，当直线AB的斜率不存在时，
，又
，解得
，即O到直线AB的距离
，当直线的斜率存在时，直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆
联立消去y得
，


，
即

，整理得
O到直线AB的距离


当且仅当OA=OB时取“=”有
得
,
即弦AB的长度的最小值是

21. （1）由已知得
，根据题意，得
即
解得

（2）由（1）知
则
令
又f(-1)=2,f(1)=-2,f(-2)=-2,f(2)=2,

(3)设切点为（
，则

切线的斜率为
则有
，即
过点M(2,m)可作曲线y=f(x)的三条切线，方程
有三个不同的实数解，
有三个不同的零点，
令
解得x=0,x=2,

22.解：∵
，∴
，由题意，得
，解得
.?----?2分

（1）不等式
等价于
对于一切
恒成立.???----?? 4分

记
，则
----5分

∵
，∴
，∴
，

∴
，从而
在
上是减函数.

∴
，于是
.????---- 6分

（2）
，由
，得，即
.???----? 7分

∵函数
在区间
上单调递增，

∴
，

则有
----9分，即
，

∴
时，
---- 12分