2014-2015学年度上学期期中考试高三数学试卷（理）

考试时间：120分钟 试题分数：150分

参考公式：

球表面积公式
，其中为球的半径．

圆柱的体积公式
，其中
为底面积，
为高．

第Ⅰ卷

一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合
，
，则
=（ ）

A．
B．
C．
D．

2.复数
（为虚数单位）的虚部是（ ）

A.
B.
C.
D.

3.“
”是“函数
的最小正周期为”的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4.二项式
的展开式的第二项的系数为
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
或
D.
或

5.已知
,
,那么
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

6.已知
函数
是偶函数，则
的图象与轴交点纵坐标的最小值为（ ）

A.
B.
C.4 D.

7．已知等差数列
的公差
若
则该数列的前项和
的最大值为（ ）

A．
B．
C．
D．

8.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ）

A．
B．
C．
D．

9.在等比数列
中，
是
的等差中项，公比满足如下条件：
（
为原点）中，
，
为锐角，则公比等于（ ）

A. B.
C.
D.或

10.设
满足约束条件
，若目标函数
的最大值为6，则
的最小值为（ ）

A．
B．
C．
D．

11．已知函数
与
图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

12.已知函数
,下列结论中正确的个数是（ ）

①
既是奇函数,又是周期函数 ②
的图像关于直线
对称

③
的最大值为
④
在
上是增函数

A. B.2 C.3 D. 4

第Ⅱ卷

二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，满分20分．

13.在
中，若
,则
是 三角形.

14．
外接圆的半径为1，圆心为
，且
，
，则
的值是_________.

15.某几何体三视图如图所示（正方形边长为），则该几何体的体积为 .

16．已知函数
,在区间
内任取两个实数
,且
,若不等式
恒成立，则实数的取值范围为 .

三．解答题:本大题共6题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. （本小题满分12分）

已知向量
，
，且

（1）求
的取值范围；

（2）求函数
的最小值，并求此时的值.

18. （本小题满分12分）设函数

（1）求
的最大值，并写出使
取最大值时的集合；

（2）已知
中，角
对边分别为
若
，求的最小值.

19．电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目

的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查.右面是根

据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率

分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟

的观众称为“体育迷”.

（1）根据已知条件完成下面的
列联表，并据此资料你

是否认为“体育迷”与性别有关？

非体育迷

体育迷

合计



男









女



10

55



合计











（2）将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为
.若每次抽取的结果是相互独立的，求
的分布列，期望
和方差
.

附：
，

0.05

0.01





3.841

6.635





20．（本题满分12分）已知数列
的前项和为
，
，且
(
)，数列
满足
，
，对任意
，都有
．

（1）求数列
、
的通项公式；

（2）令
，若对任意的
，不等式
恒成立，试求实数λ的取值范围．

21.（本题满分12分）已知函数

，其中为实数

（1）求函数
的单调区间；

（2）若函数
对定义域内的任意恒成立，求实数的取值范围；

（3）证明：

,对于任意的正整数
成立.

请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. (几何证明选讲) （本小题满分10分）

如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.

（1）求证：圆心O在直线AD上；

（2）求证：点C是线段GD的中点.

23.（极坐标与参数方程选讲）（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点的极

坐标为
,直线的极坐标方程为
,且点在直线上.

(1)求的值及直线的直角坐标方程;

(2)圆
的参数方程为
,(为参数),试判断直线与圆的位置关系.

24.（不等式选讲）（本小题满分10分）

设函数

（1）求不等式
的解集；

（2）若不等式

的解集非空，求实数的取值范围.

2014-2015学年度上学期期中考试

高三数学试卷答案（理）

一、选择题

1-5 CABBA 6-10ACDCD 11-12 BD

二、填空题

13. 等腰或直角 14. 3 15.
16.

三、解答题

17.解：（1）∵
　　∴　
；　　　

　∴
　　

（2）∵
　　∴　
；

∴　当
，即
或
时，
取最小值

18. 解：（1）

要使
取最大值，

故的集合为

（2）由题意，
，即

化简得

，
，

只有
，

在
中，由余弦定理，

由
知
，即
，当
时，取最小值

19．解：（1）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而
列联表如下：

非体育迷

体育迷

合计



男

30

15

45



 女

45

10

55



合计

75

25

100



将
列联表中的数据代入公式计算，得

因为
，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关.

（2）由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率为0. 25，将频率视为概率，即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为
.由题意
，从而
的分布列为

0

1

2

3
















，
.

20. 解答（1）∵
，∴
(
)，两式相减得，
，

∴
，即
(
)，又因为
，
，从而

∴
(
)，

故数列
的通项公式
(
)．

在数列
中，由
，知数列
是等比数列，首项、公比均为
，

∴数列
的通项公式
．

（2）∴
①

∴
②

由①(②，得

，

∴
，

不等式
即为
，

即
（
）恒成立．

方法一、设
（
），

当
时，
恒成立，则
不满足条件；

当
时，由二次函数性质知不恒成立；

当
时，
恒成立，则
满足条件．

综上所述，实数λ的取值范围是
．

方法二、也即
（
）恒成立，

令
．则
，

由
，
单调递增且大于0，∴
单调递增∴

∴实数λ的取值范围是
．

21. 解：解析(1)因为

当
时，令
得
；
得

此时，函数
的增区间是
，减区间是

当
时，令
得
或
；
得

此时，函数
的增区间是
和
，减区间是

当
时，
对任意
恒成立，

此时，函数
的增区间是
，无减区间

当
时，令
得
或
；
得

此时，函数
的增区间是
和
，减区间是
（4分）

（3）当
时，
（当且仅当
时等号成立）则
，当
时，此不等式可以变形为
，

分别令
，则

所以
.

22．证明：

（1）

∴圆心O在直线AD上。

（2）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，

∴点C是线段GD的中点。

23解：（1）解:(Ⅰ)由点
在直线
上,可得

所以直线的方程可化为

从而直线的直角坐标方程为

(2)由已知得圆
的直角坐标方程为

所以圆心为
,半径
以为圆心到直线的距离
,所以直线与圆相交

24解：

函数
，方程
的根为
，

由函数
的图像知
的解集为

（2）设
，
表示过点
，斜率为的直线，
的解集非空即
的图像在
图像下方有图像，或与
图像有交点，由图像可知