2014～2015学年度第一学期期中考试高三数学试题

(考试时间：120分钟 总分160分)

命题人：王鸿、王光华 审题人：孟太、朱善宏

注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1. 已知集合
，则
▲ ．

2．已知角的终边经过点
，则
的值是 ▲ ．

3. 若等差数列
的前5项和
，且
，则
▲ ．

4．曲线
在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ．

5．将函数
的图象上每一点向右平移
个单位，得函数
的图象，则
= ▲ ．

6．在平面直角坐标系
中，直线
与圆
相交于两点
， 则线段
的长度为 ▲ .

7. 不等式
的解集为 ▲ .

8. 已知
，且
，则
的值为 ▲ ．

9. 在
中，“
”是“
”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）

10．如图，已知正方形
的边长为3，为
的中点，

与
交于点，则
▲ ．

11．设
，已知在约束条件
下，目标函数

的最大值为
，则实数的值为 ▲ . （第10题图）

12．已知等比数列
的首项
，其前四项恰是方程
的四个根，则
▲ .

13．已知圆C：
，点P在直线l：
上，若圆C上存在两点A、B使得
，则点P的横坐标的取值范围是 ▲ ．

14. 已知两条平行直线
：
和
：
（这里
），且直线
与函数
的图像从左至右相交于点A、B ，直线
与函数
的图像从左至右相交于C、D．若记线段
和
在x轴上的投影长度分别为a 、b ，则当变化时，
的最小值为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，且
，求
的值．

16．设
，函数
．

（Ⅰ）已知
是
的导函数，且
为奇函数，求的值；

（Ⅱ）若函数
在
处取得极小值，求函数
的单调递增区间。

17．某小区想利用一矩形空地
建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中
，
，且
中，
，经测量得到
．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设计时经过点作一条直线交
于
，从而得到五边形
的市民健身广场．

（Ⅰ）假设
，试将五边形
的面积表示为的函数，并注明函数的定义域；

（Ⅱ）问：应如何设计，可使市民健身广场的面积最大？并求出健身广场的最大面积．

18. 已知圆
：
，点是直线
：
上的一动点，过点作圆M的切线
、
，切点为、．

（Ⅰ）当切线PA的长度为
时，求点的坐标；

（Ⅱ）若
的外接圆为圆
，试问：当运动时，圆
是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）求线段
长度的最小值．

19.若数列
满足：对于
，都有
（
为常数），则称数列
是公差为的“隔项等差”数列．

（Ⅰ）若
，
是公差为8的“隔项等差”数列，求
的前项之和；

（Ⅱ）设数列
满足：
，对于
，都有
．

①求证：数列
为“隔项等差”数列，并求其通项公式；

②设数列
的前项和为
，试研究：是否存在实数，使得
成等比数列（
）?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

20. 已知函数
，其中

（Ⅰ）若
，试判断函数
的单调性，并说明理由；

（Ⅱ）设函数
，若对任意的
，总存在唯一的实数
，使得
成立，试确定实数的取值范围.

高三数学期中试题（教师版）

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．

1.已知集合
，则
▲ ．

答案：

2．已知角的终边经过点
，则
的值是 ▲ ．

答案：

3. 若等差数列
的前5项和
，且
，则
▲ ．

答案：13　

4．曲线
在点（1，2）处的切线方程是 ▲ ．

答案：

5．将函数
的图象上每一点向右平移
个单位，得函数
的图象，则
= ▲ ．

答案：

6．在平面直角坐标系
中，直线
与圆
相交于两点
， 则线段
的长度为 ▲ .

答案： 4

7. 不等式
的解集为 ▲ .

答案：

8.已知
，且
，则
的值为 ▲ ．

答案：

9. 在
中，“
”是“
”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）

答案：必要不充分

10．如图，已知正方形
的边长为3，为
的中点，

与
交于点，则
▲ ．

答案：

（第10题图）

11．设
，已知在约束条件
下，目标函数
的最大值为
，则实数的值为 ▲ .

答案：

12．已知等比数列
的首项
，其前四项恰是方程
的四个根，则
▲ .

答案：

13．已知圆C：
，点P在直线l：
上，若圆C上存在两点A、B使得
，则点P的横坐标的取值范围是 ▲ ．

答案：

14. 已知两条平行直线
：
和
：
（这里
），且直线
与函数
的图像从左至右相交于点A、B ，直线
与函数
的图像从左至右相交于C、D．若记线段
和
在x轴上的投影长度分别为a 、b ，则当变化时，
的最小值为 ▲ ．

答案：32

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
．

（Ⅰ）求
的值；

（Ⅱ）若
，且
，求
的值．

解：（Ⅰ）因为
，

由正弦定理得
，所以
……………………………4分

（Ⅱ）因为
，
，所以
，

所以
，

由余弦定理得
，所以
．……………………………8分

所以

即
……………………………14分

16．设
，函数
．

（Ⅰ）已知
是
的导函数，且
为奇函数，求的值；

（Ⅱ）若函数
在
处取得极小值，求函数
的单调递增区间。

解：（Ⅰ）
， ……………………………2分

故
，

为奇函数，

，即

； ……………………………6分

（Ⅱ）

列表如下：



















 ……………………………9分

在
处取得极小值，在
处取得极大值，

由题设
，
； ……………………………12分

所以函数的递增区间为
……………………………14分

17．某小区想利用一矩形空地
建造市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一个水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中
，
，且
中，
，经测量得到
．为保证安全同时考虑美观，健身广场周围准备加设一个保护栏．设