高三第一学期期中考试数学（理）试题答案

选择题

1.D 2.A 3.D 4.B 5.A 6.A 7.A 8.C 9.C 10.A

二、填空题

11.
12.[2,4] 13.
π 14.(- ∞,-3) ∪(6, ﹢∞) 15. ①②④

三、解答题

16.（共12分）解：

(1) f(x)=a·b =2sin2x+2sinxcosx＝2×
+sin2x=
sin(2x-
)+1

由-
+2kπ≤2x-
≤
+2kπ,k
,得 -
+kπ≤x≤
+kπ，k

∴f(x)的单调递增区间为[-
+kπ，
+kπ]( k
) -----6分

(2)由题意得，g(x)=
sin [2(x+
)-
]+1=
sin(2x+
)+1

由
≤x≤
得,
≤2x+
≤
∴0≤g(x) ≤
+1 ----12分

∴g(x)的最大值为
+1，最小值为0

∴-a≥3或4-a＜-1, ∴a≤-3或a＞5

∴a的取值范围是（-∞，-3] ∪(5,+ ∞). ……12分

18.（共12分）解：(1)∵
∴
即：cosAsinB-2sinBcosC=2sinCcosB-cosBsinA∴sin（A+B）=2sin（B+C）即sinC=2sinA ∴
=2 -----6分

(2)由(1)得，
=
=2 ∴c=2a

又∵b=2 ∴b2=c2+a2-2ac·cosB 即22=4a2+a2-2a×2a×
,

解得a=1(负值舍去)，∴c=2, 又∵cosB=
，∴sinB=
,

故S△ABC=
acsinB=
×1×2×
=
-------12分

19、（共12分）

1-lnx



x2



20、（共13分）解：（1）∵h(x)=
，(x＞0) ∴h’(x)=

由h,(x)＞0且x＞0，得0＜x＜e，

由h,(x)＜0且x＞0，x＞e

∴函数h（x）的单调增区间是（0，e]，单调减区间是[e，+∞）∴当x=e时，h(x)max=
------6分（2）∵xf（x）≥-2x2+ax-12对一切x∈(0，+∞)恒成立即xlnx-x2≥-2x2+ax-12对一切x∈(0，+∞)恒成立亦即a≤lnx+x+
对一切x∈(0，+∞）恒成立

x2+x-12



x2



(x-3)(x+4)



x2



设 (x)=lnx+x+
,’(x) ＝ ＝

∴在 (x)在（0，3]上递减，在[3，+∞）上递增

∴ (x)min＝ (3)=7+ln3，

∴a≤7+ln3 --------13分

21、（共14分）解：(1)f’(x)=x-ax2= -ax(x-
)

∴当f’(x)=0时，x=0或x=
又∵a>0

∴当x∈(-∞，0)时，f’(x)<0；当x∈(0，
)时，f’(x)>0；

当x∈(
，+∞)时，f’(x)<0

∴f(x)的极小值为f(0)=0；f(x)的极大值为f(
)=
---5分

(2) ∵a=e ∴g(x)=
x2-
ex3+ex(x-1) g’(x)=x(ex-ex+1)

①记h(x)=ex-ex+1 则h’(x)=ex-e

当x∈(-∞,1)时，h’(x)<0，h(x)是减函数

当x∈(1,+ ∞)时，h’(x)>0，h(x)是增函数 ∴h(x) ≥h(1)=1>0

则在(0,+ ∞)上，g’(x)>0；在(-∞,0)上，g’(x)<0

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∴函数g(x)的单调递增区间是(0,+ ∞)，单调递减区间是(-∞,0).—10分

②证明：x>0时，g’(x)=x(ex-ex+1) ≥1+㏑x ，即ex-ex+1≥

由①得,h(x)=ex-ex+1≥1，记 (x)=1+㏑x-x(x>0),则’(x)=

在区间(0,1)上，’(x)>0， (x)是增函数；

在区间(1,+ ∞)上，’(x)<0， (x)是减函数

∴ (x) ≤ (1)=0，即1+㏑x-x≤0，
≤1

∴ex-ex+1≥1≥
，即g,(x) ≥1+㏑x恒成立 ----14分