文 科 数 学

一 选择题（每题只有一个正确选项，计50分）

1.若集合
，
，则
=

A.
B.
C.
D.

2、已知复数
为纯虚数，则为 （ ）

A．0 B．
C．
D．

3、在三角形ABC中，若
，则
的值是（ ）

A.
B.
C.
D.

4．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且
的一个充分不必要条件是
，则a的取值范围是 (　 　)

A．(－∞，1]　　　B．[1，＋∞) C．[－1，＋∞)　　D．(－∞，－3]

5.已知两个不同的平面、
和两条不重合的直线m、n，有下列四个命题

①若
，则
②若

③若
④若

其中正确命题的个数是

（A）4 (B) 3 (C) 2 (D) 1

6．若
是幂函数，且满足
，则
=（ ）

A.
B.
C.2 D. 4

7. 若
为等差数列，
是其前项和，且
，则
的值为（ ）

A.
B.
C.
D.

8、设函数
在（1,2）内有零点，则实数a的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

9．一只蚂蚁从正方体
的顶点处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点
位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（ ）

A．①② B．①③ C．③④ D．②④

已知函数
则
的大致图象是（??）A．
??B．
?C．
?????D．
?

二填空题（每题5分，计25分，请将答案写在第二卷对应横线处）

已知实数
满足约束条件
，则
的最小值是____________

12.已知函数
(e是自然对数的底数)，若
，则
=________

13 已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，则|λ|＝________．

??

14．若函数
满足f(a+x)=f(a-x)，则
的值为__________

15.
为等差数列
的前项和，若
，则
??? ．

三 解答题（本大题共六小题，计75分）

16、（12分）在
中，内角A、B、C的对边分别为
，向量
，且

（1）求锐角B的大小；

（2）已知
，求
的面积的最大值。

17（12分）如图，菱形
的边长为
，
，
.将菱形
沿对角线
折起，得到三棱锥
，点
是棱
的中点，
.

（1）求证：
平面
；

（2）求三棱锥
的体积.

18.（12分）已知数列
的前项和为
，且满足
，
(
且
)．

（1）求证：数列
是等差数列；（2）求
和
.

19（12分）如图，在四棱锥
中，
平面
，底面
是菱形，点O是对角线
与
的交点,
是
的中点,
.

（1）求证：
平面
; （2）平面
平面

（3）当四棱锥
的体积等于
时,求
的长.

20．（本小题满分13分）

已知二次函数y＝f(x)的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x)＝2x＋2，数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn)(n∈N*)均在函数y＝f(x)的图象上．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2n·an，Tn是数列{bn}的前n项和，求Tn.

21. （本小题满分14分）

已知函数
，
（
）.

（1）a>0时，求函数
的单调区间；

（2）求证：当
时，对于任意
，总有
成立.

山东省北镇中学2012级高三学科统练数学试题答案（文科）2014.11

选择题

填空题

解答题

16解：（1）由
得

整理得

为锐角

………………5’

（2）由余弦定理
得4=

………………10’

解（１）证明：因为点
是菱形
的对角线的交点，

所以
是
的中点.又点
是棱
的中点，

所以
是
的中位线，
. ……2分

因为
平面
,
平面
，………4分

所以
平面
. ……………6分

（２）三棱锥
的体积等于三棱锥
的体积. ……………7分

由题意，
,

因为
,所以
，
. …………8分

又因为菱形
，所以
. …………9分

因为
,所以
平面
，即
平面
…………10分

所以
为三棱锥
的高. ……………11分

的面积为

，……13分

所求体积等于

. ……………14分

解（１）证明：当
时，
，① ……………2分

由上式知若
，则

，由递推关系知
，

∴由①式可得：当
时，
……………4分

∴
是等差数列，其中首项为
，公差为. ……………6分

(2)
，
. ……………8分

当
时，
， ……………10分

当
时，
不适合上式， ……………12分

∴
……………14分

解析：（1）证明：∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，…（1分）

∵OM?平面PBD，PB?平面PBD，…（3分）山东省中学联盟

∴OM∥平面PAB．…（4分）

（2）证明：∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，…（5分）

∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴BD⊥PA．…（6分）

∵AC?平面PAC，PA?平面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，…（8分）

∵BD?平面PBD，

∴平面PBD⊥平面PAC．…（10分）

（3）解：∵底面ABCD是菱形， AB=2，∠BAD=60°，

∴
，…（11分）

∵四棱锥P﹣ABCD的高为PA，∴
，得
…（12分）

∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD，∴PA⊥AB．…（13分）

在Rt△PAB中，
．…（14分）

20．[解析]　(1)设f(x)＝ax2＋bx，f ′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，

∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x， ------------2分

∴Sn＝n2＋2n，

∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋2n)－[(n－1)2＋2(n－1)]＝2n＋1，

又a1＝S1＝3，适合上式，∴an＝2n＋1. ------------6分

(2)bn＝(2n＋1)·2n，

∴Tn＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n＋1)·2n，

∴2Tn＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n＋1)·2n＋1， ------------8分

相减得－Tn＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n)－(2n＋1)·2n＋1

＝6＋2·－ (2n＋1)·2n＋1＝(1－2n)·2n＋1－2，

∴Tn＝(2n－1)·2n＋1＋2. ------------12分

21. （本小题满分14分解：⑴ 函数
的定义域为，
.

当
时，当变化时，
，
的变化情况如下表：

















0



0







↘



↗



↘



.……2分 当
时，
的单调递增区间为
，单调递减区间为
，
；…5分 ⑵ 由（1）可知，当
时，
在
上单调递增，
；
在
上单调递减，且
. 所以
时，
.因为
，所以
，

令
，得
.…………7分

①当
时，由
，得
；由
，得
，

所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减.所以
.

因
，对任意
，总有
.…10分

②当
时，
在
上恒成立，

所以函数
在
上单调递增，
.

所以对于任意
，仍有
.

综上所述，对于任意
，总有
. …………………14分