学科统练数学试题（理科）

命题人：集体 制版人：邵滨 审核人：付玉民、林金凯

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设集合 M ={x|
}，N ={x|1≤x≤3},则M∩N =( )

A． [1,2) B.[1,2] C.( 2,3] D.[2,3]2. 已知向量
，若向量
，则
（ ）

A. 2 B. -2 C. 8 D. -8

3.下列结论错误的是（ ）

A.命题“若
，则
”的逆否命题为“若
”

B.“
”是“
”的充分条件

C.命题 “若
，则方程
有实根”的逆命题为真命题

D.命题“若
，则
”的否命题是“若
”

4. 在正项等比数列
中，
，则
的值是 ( )

A.
B.
C.
D.

5.设命题
函数
的最小正周期为
；函数
函数
的图象关于直线
对称.则下列的判断正确的是( )

A为真 B
为假 C
为假 D
为真

6．设
，则（ ）

A. c>b>a B.b>c>a C.a>c>b D. a>b>c

7．若实数x，y满足不等式组
， 则x＋y的最小值是（ ）

A．
B．3 C． 4 D． 6

8、已知向量=(cos(，sin()，=(，1)，则|2―|的最大值和最小值分别为（ ）

A.4，0 B. 16，0 C. 2，0 D. 16，4

9．已知函数
，当
时，
取得最小值
，则函数
的图象为（ ）

10.设定义在R上的偶函数
满足
，
是
的导函数，当
时，
；当
且
时，
．则方程

根的个数为（ ）

A．12 B．16 C．18 D．20

二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，答案须填在答题纸上.

11．在
中，
分别是内角
的对边，已知
，则
.

12.曲线
与直线
围成的封闭图形的面积为 .

13．设S是等差数列{a}的前n项和，若
，则
等于 .

14. 函数
在区间
上恰有一个零点，则实数的取值范围是_______.

15.给出下列命题：①函数y=
在区间[1,3]上是增函数；

②函数f（x）=2x －x2的零点有3个；

③不等式
恒成立，则
；

④已知
则

⑤
是函数
为偶函数的一个充分不必要条件.

其中真命题的序号是（请将所有正确命题的序号都填上） .

三、解答题：解答应写在答题纸相应位置，并写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共6个小题，共75分。

16. （本小题满分12分）函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．

17.（本小题满分12分）

已知数列
是公差为2的等差数列,且
,
,
成等比数列.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）令

,求数列
的前项和为
.

18. （本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.

(1)求cos A的值；

(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．

19. （本小题满分12分）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

20.（本小题满分13分）设等差数列
的前项和为
，已知
．已知数列
的前项和为
，且

（1）求数列
,
的通项公式；

（2）设数列
的前项和
，求满足条件
的常数的最小正整数．

21. （本小题满分14分）已知函数

．

（Ⅰ）若函数
的图象在
处的切线方程为
，求，
的值；

（Ⅱ）若函数在上是增函数，求实数的取值范围；

（Ⅲ）如果函数
有两个不同的极值点
，证明：
．

学科统练数学试题（理科）

（参考答案）

一、选择题：1---5 ADCAC 6-----10 DBABC

二、填空题：

11.6 12.
13．
14.
或
15.②③⑤

三、解答题：解答应写在答题纸相应位置，并写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.本大题共6个小题，共75分。

16. （本小题满分12分）函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示．

(1)求f(x)的解析式；

(2)设g(x)＝[f(x－)]2，求函数g(x)在x∈[－，]上的最大值，并确定此时x的值．

解：(1)由题图知A＝2，＝，则＝4×，∴ω＝.----------2分

又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0，

∴sin(φ－)＝0，---------------3分

∵0<φ<，∴－<φ－<，

∴φ－＝0，即φ＝，

∴f(x)＝2sin(x＋)．----------------6分

(2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x＋)，------7分

∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×＝2－2cos(3x＋)，------9分

∵x∈[－，]，∴－≤3x＋≤，--------10分

∴当3x＋＝π，即x＝时，[g(x)]max＝4.----------12分

17.（本小题满分12分）

已知数列
是公差为2的等差数列,且
,
,
成等比数列.

（Ⅰ）求
的通项公式；

（Ⅱ）令

,求数列
的前项和为
.

17. 解：（1）数列
是公差为2的等差数列，

,
,
成等比数列，
,

所以由


……………… 3分

得

解之得
,所以
,即
……………6分

（2）由（1）得

………9分

=

18. （本小题满分12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，

且2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.

(1)求cos A的值；

(2)若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．

18.解：　(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，

得[cos(A－B)＋1]cos B－sin(A－B)sin B－cos B＝－，

即cos(A－B)cos B－sin(A－B)sin B＝－.

则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.-----------6分

(2)由cos A＝－，0

由正弦定理，有＝，所以，sin B＝＝.

由题知a>b，则A>B，故B＝，--------9分

根据余弦定理，有(4)2＝52＋c2－2×5c×，

解得c＝1或c＝－7(舍去)．-------11分

故向量在方向上的投影为||cos B＝.------12分

19. （本小题满分12分）中学联盟网

某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3

(1)求a的值；

(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．

19.解　(1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2.---------2分

(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2.所以商场每日销售该商品所获得的利润

f(x)＝(x－3)

＝2＋10(x－3)(x－6)2,3

从而，f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]

＝30(x－4)(x－6)．-------6分

于是，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(3,4)

4

(4,6)



f′(x)

＋

0

－



f(x)

单调递增

极大值42

单调递减



由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点．所以，当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.

答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．-----12分

20.（本小题满分13分）设等差数列
的前项和为
，已知
．已知数列
的前项和为
，且

（1）求数列
,
的通项公式；

（2）设数列
的前项和
，求满足条件
的常数的最小正整数．

20. 解：（1）设数列
的公差为，由
，
．又
，

解得
，…………………………………………………………………………………2分

因此
的通项公式是：
…．………………………………3分

又当
，
，当

时，
………………………………………………………………………5分

∴
，由于
∴
，
，

故
是公比为2的等比数列，首项
，∴
…………………………………………6分

（2）∴
……7分,∴
①

②