湖南省衡阳八中2015届高三上学期第四次月考试题 数学（文）

注意事项：

1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

2. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

一、选择题：本大题共10小题。每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合
（ ）

A.
B.
C.
D.

2．下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ）

A.
B.
C.
D.

3．函数
，
是（ ）

A.最小正周期为的奇函数 B.最小正周期为
的奇函数

C.最小正周期为的偶函数 D.最小正周期为
的偶函数

4．以为公比的等比数列
中，
，则“
”是“
”的（ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

5．若
，
，
，且
，那么
与
的夹角为（ ）

A．
B．
C．
D．

6．下列说法正确的是（ ）

A．若
，则

B．函数
的零点落在区间
内

C．函数
的最小值为2

D．若
，则直线
与直线
互相平行

7.若函数
的图象过点P（
，1），则该函数图象在P点处的切线斜率等于（　）

A．1 B．
C．2 D．

8.将函数
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象,若
的图象的对称轴重合，则的值可以是（　　）

A．
B．
C．
D．

9．设
,函数
,则
的值等于（ ）

A．8 B．7 C．6 D．5

10．已知
，把数列
的各项排列成如下的三角形状，

记
表示第行的第个数，则
=　（ ）

A.
B.
C.
D.

二、填空题：本大题共5小题。每小题5分，请将答案填写在答卷相应的位置上。

11．设是虚数单位，复数
是纯虚数，则实数
.

12．已知
是等差数列，
，
，那么该数列的前13项和
等于 .

13.函数
在区间
上的最小值是

14．在
中，AB=2，AC=3，D是边BC的中点，则

15已知函数
，若方程
恰有4个不等根，则实数的取值范围为

三、解答题：（本大题有6个小题，共75分。要求写出详细解答过程）

16（本小题满分12分）．等差数列{
}足：
，
，其中
为数列{
}前n项和．

（1）求数列{
}通项公式；

（2）若
，且
，
，
成等比数列，求k值．

17．（本小题满分12分）在直角坐标系
中，已知点
，点
在
三边围成的区域（含边界）上，且
.

（1）若
，求
；

（2）用
表示
，并求
的最大值.

18. （本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA1＝3，D是BC的中点，点E在棱BB1上运动．

（1）证明：AD⊥C1E；

（2）当异面直线AC，C1E 所成的角为60°时，求三棱锥C1-A1B1E的体积．

19.（本小题满分13分）已知在△ABC中，三条边a,b、c所对的角分别为A、B,C，向量m=（sinA，cosA），n＝（cosB，sinB），且满足m·n＝sin2C.

（1）求角C的大小；

(2)若sinA,sinC, sinB成等比数列，且
，求边c的值并求△ABC外接圆的面积。

20．（本小题满分13分）已知二次函数
+的图象通过原点，对称轴为
，
．
是
的导函数，且

．

（1）求
的表达式（含有字母）；

（2）若数列
满足
，且
，求数列
的通项公式；

（3）在（2）条件下，若
，
，是否存在自然数
，使得当
时

恒成立?若存在，求出最小的
；若不存在，说明理由．

21（本小题满分13分）.已知
，函数

（1）当
时，若
，求函数
的单调区间；

（2）若关于的不等式
在区间
上有解，求的取值范围；

（3）已知曲线
在其图像上的两点
处的切线分别为
，若直线
与
平行，试探究点与点的关系，并证明你的结论。

2015届高三文科数学月考（4）答案

一选择题：50分

1-------5： D C C A B

6------10: B B C A B

二填空题：25分

11．
12.
13.
14.
15.

三解答题：75分

16.（1）由条件，
；

（2）
， ∵
．

17.（1）

，

又

（2）

即
两式相减得：

令
，由图可知，当直线
过点
时，取得最大值1，故
的最大值为1.

18解：（Ⅰ）∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC． ①

又在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，而AD?平面ABC，

∴AD⊥BB1． ②

由①，②得AD⊥平面BB1C1C．

由点E在棱BB1上运动，得C1E?平面BB1C1C，

∴AD⊥C1E．………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）∵AC∥A1C1，

∴∠A1C1E是异面直线AC，C1E 所成的角，由题设，∠A1C1E＝60°．

∵∠B1A1C1＝∠BAC＝90°，

∴A1C1⊥A1B1，又AA1⊥A1C1，

从而A1C1⊥平面A1ABB1，于是A1C1⊥A1E．

故C1E＝＝2，又B1C1＝＝2，

∴B1E＝＝2．

从而V三棱锥C1-A1B1E＝S△A1B1E×A1C1＝××2××＝．…………………12分

19. （1）m·n＝sin2C.

（2）sinA,sinC, sinB成等比数列

设外接圆的半径为，由正弦定理可知：

20．试题解析：（1）由已知，可得
，
， 1分

∴
解之得
，
3分

4分

（2）
5分

=
8分

（3）

9分

（1）

（2）

（1）—（2）得：
… 11分

=
，即
，当
时，
… 12分

，使得当
时，

恒成立 13分

21．试题解析：（1）因为
，所以
， 1分

则
，

而
恒成立，

所以函数
的单调递增区间为
． 4分

（2）不等式
在区间
上有解，

即不等式
在区间
上有解，

即不等式
在区间
上有解，

等价于不小于
在区间
上的最小值． 6分

因为
时，
，

所以的取值范围是
． 8分

（3）因为
的对称中心为
，

而
可以由
经平移得到，

所以
的对称中心为
，故合情猜测，若直线
与
平行，

则点与点关于点
对称． 9分

对猜想证明如下：

因为
，

所以
，

所以
，
的斜率分别为
，
．

又直线
与
平行，所以
，即
，

因为
，所以，
， 11分

从而
，

所以
．

又由上
，

所以点
，
（
）关于点
对称．

故当直线
与
平行时，点与点关于点
对称． 13分