一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1. 设集合
，
，则
(　　)

A．
B．
C．
D．

2. 若是第三象限角，且
，则
（ ）

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

3. 函数
的值域为（ ）

A.
B.
C.
D.

4. 已知向量
与
不共线，且
，若
三点共线，则实数
满足的条件是（ ）

Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.

5. 函数
的零点所在的区间是（　）

A．
B．
C．
D．

6. 若数列
满足
，
，则称数列
为“梦想数列”。已知正项数列
为“梦想数列”，且
，则
的最小值是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8

7. 已知函数
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

8．下列四种说法中，

①命题“存在
”的否定是“对于任意
”；

②命题“且为真”是“或为真”的必要不充分条件；

③已知幂函数
的图象经过点
，则
的值等于
；

④已知向量
，
，则向量
在向量
方向上的投影是
.

说法正确的个数是（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4

9. 定义在上的函数
满足：
，
，
是
的导函数，

则不等式
（其中为自然对数的底数）的解集为( )

A．
B．

C．
D．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）

11.在等比数列
中，
，且
，
，
成等差数列，则通项公式
.

12.已知函数
的图象如右图所示，则
．

13.函数
的单调增区间是 .

14.已知
中的内角为
，重心为，若

，则
.

15.定义函数
，其中
表示不小于的最小整数，如
，
.当
，
时，函数
的值域为
，记集合
中元素的个数为
，则
________．

三、解答题：（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

16.（本小题满分12分）

若二次函数
满足
，且
.

（1)求
的解析式；

（2)若在区间
上，不等式
恒成立，求实数的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知向量
，
．

(1)当
时，求
的值；

(2)设函数
，已知在
中，内角
的对边分别为
，

若
，
，
，求
（
）的取值范围.

19.（本小题满分12分）

北京、张家港2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估。该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．

（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不

低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元．公司拟投入
万作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入
万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

20.（本小题满分13分）

已知函数
的导数为
，且数列
满足
.

（1）若数列
是等差数列，求
的值；（2）当
时，求数列
的前项和
；

（3）若对任意
都有
成立，求
的取值范围.

参考答案

10.【解析】依题意
在
和
上递增，在
和
上递减，当
时，函数取得极大值
；当
时，取得极小值
。要使关于的方程
，
有且只有6个不同实数根，设
，则
必有两个根
、
，则有两种情况符合题意：（1）
，且
，此时
，则
；（2）
，
，此时同理可得
，综上可得的范围是
.故选答案C.

11.【解析】设
，带入
，解得
，则
，
.

12.【解析】依题意知
，
，又过点
，则令
，得
。故
.

当
时，因为
，所以
，所以
，所以
；

当
时，因为
，所以
，所以
，所以
，

由此类推：
，所以
，所以
，所以

16．【解析】 (1)由
得，
. ∴
.

又
，∴
，

即
，

∴
，∴
.∴
.

(2)
等价于
，即
在
上恒成立，

令
，则
，∴
.

18．【答案】
（2）

解析：（1）

（2）
+

由正弦定理得
或

因为
，所以

,

,

所以

19.解：(1)设每件定价为t元，依题意得t≥25×8，

整理得t2－65t＋1 000≤0，解得25≤t≤40.

所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元．

(2)依题意知当x＞25时，不等式ax≥25×8＋50＋(x2－600)＋x有解，

等价于x＞25时，a≥＋x＋有解．

由于＋x≥2 ＝10，当且仅当＝，即x＝30时等号成立，所以a≥10. 2.

当该商品改革后的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元.

21.【答案】(1)
,

由题知
,即
解得

(2)
=
,

由题知
,即
解得
,

∴
,
=

∵
,由
,解得
;由
,解得

∴
在
上单调递增,在
单调递减,

故
至多有两个零点,其中
,

又
>
=0,
=6(
-1)>0,
=6(
-2)<0 ，∴
∈(3,4),故=3