2014年高中学科基础测试

文科数学　评分参考

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分）

1．D； 2．B； 3．A； 4．D； 5．C；

6．B； 7．C； 8．A； 9．B； 10．D．

二、填空题：本大题共7小题，每题4分，共28分

11．1007； 12．
； 13．
； 14．32；

15．
； 16．
； 17．
；

三、解答题（本大题共5小题,共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．（本题14分）

在△
中，已知
．

（Ⅰ）求角；

（Ⅱ）若
，求
的最大值．

解：（Ⅰ）因为
，所以
． ┅4分

又
，故角
． ┅8分

（Ⅱ）因为
，所以

． ┅10分

又
，所以
，从而
，其中
时等号成立．

故，
的最大值为8． ┅14分

19．（本题14分）

已知数列
满足：
，
．

（Ⅰ）求证数列
是等比数列，并求数列
的通项
；

（Ⅱ）若
，求数列
的前项和
．

解：（Ⅰ）由
，得
．

所以，
成等比，公比
，首项
． ┅4分

所以，
，即
． ┅8分

（Ⅱ）


， ┅10分

所以，数列
的前项和

┅12分

． ┅14分

20．（本题15分）

如图，三棱锥
中，
底面
，△
是正三角形，
，
，
是
的中点．

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）设二面角
的大小为，求
的值．

解：（Ⅰ）因为
底面
，所以
． ┅3分

因为△
是正三角形，
是
的中点，所以
． ┅6分

所以，
平面
． ┅7分

（Ⅱ）（几何法）

作
于，连
，则
．

所以，
是二面角
的平面角． ┅11分

因为
，
，所以
，
．

从而
，故
． ┅15分

（向量法）

以
为原点，
为轴，
为轴，建立空间直角坐标系
，如图．

平面
的一个法向量
． ┅10分

，
．

设
是平面
的法向量，

则
，取法向量
． ┅13分

故

． ┅15分

21．（本题15分）

如图，已知抛物线
，点
是轴上的一点，经过点且斜率为1的直线与抛物线相交于，两点．

（Ⅰ）当点在轴上运动时，求证线段
的中点在一条直线上；

（Ⅱ）若
（O为坐标原点），求的值．

解：（Ⅰ）设
，
，
中点为
．

则

， ┅2分

又
，
，

所以
，从而
． ┅6分

故，线段
的中点在直线
上． ┅7分

（Ⅱ）直线：
，

由

． ┅9分

，

． ┅12分

若
，则
，即
．

解得：
． ┅15分

22．（本题14分）

已知
，函数
（
）．

（Ⅰ）试用定义证明：
在
上单调递增；

（Ⅱ）若
时，不等式
恒成立，求的取值范围．

解：（Ⅰ）设
，则

． ┅2分

因为
，所以
，
，
，

所以
，即
，

故，
在
上单调递增． ┅6分

（Ⅱ）
在
上单调递减，在
上单调递增．

①若
，则
在
上单调递增，
．

所以，
，即
，所以
． ┅8分

②若
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，

．所以，
，即
，所以
． ┅10分

③若
，则
在
上单调递减，
．

所以，
，即
，所以
． ┅12分

综合①②③，
． ┅14分

命题人：吴明华

2014年6月