2014-2015学年高三10月考数学试卷（理科）

注意事项：

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共150分，考试时间120分钟.

2.请用0.5mm黑色签字笔将答案直接写在答题纸上.

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）.

1．已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|1＜log2x＜2}，则A∩B等于（　　）

A．

{x|0＜x＜3}

B．

{x|2＜x＜3}

C．

{x|1＜x＜3}

D．

{x|1＜x＜4}



2．设
，向量
且
，则
（　　）

（A）
（B）
（C）
（D）

3．在
中，设命题
，命题
是等边三角形，那么命题是命题的（　　）

Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件

Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件

4．设
，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．

a＞b＞c

B．

a＞c＞b

C．

b＞a＞c

D．

b＞c＞a



5．已知函数f（x）=ax﹣x3在区间[1，+∞）上单调递减，则a的最大值是（　　）

A．

0

B．

1

C．

2

D．

3



6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≥0时f（x）的图象如图所示，则f（﹣2）=（　　）

A．

﹣3

B．

﹣2

C．

﹣1

D．

2



7．函数y=sin（x﹣
）的一条对称轴可以是直线（　　）

．
　　　．
　　C．
　　D．

8．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则
=（　　）

A．

2

B．



C．



D．

1



9．函数y=2x﹣x2的图象大致是（　　）

A．



B．



C．



D．





10．若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣2）=f（x），且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=
，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，6]内的零点的个数为（　　）

A．

13

B．

8

C．

9

D．

10



第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.

11．在数列{an}中，a1＝15,3an＋1＝3an－2(n∈N＋)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的为 ．

12．设向量
，

，若
，则
______.

13．已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　_________　．

14．设f1（x）=cosx，定义fn+1（x）为fn（x）的导数，即fn+1（x）=f′n（x）n∈N*，若△ABC的内角A满足f1（A）+f2（A）+…+f2013（A）=
，则sin2A的值是　_________　．

15．给出下列命题：

①函数y=cos（2x﹣
）图象的一条对称轴是x=

②在同一坐标系中，函数y=sinx与y=lgx的交点个数为3个；

③将函数y=sin（2x+
）的图象向右平移
个单位长度可得到函数y=sin2x的图象；

④存在实数x，使得等式sinx+cosx=
成立；

其中正确的命题为　_________　（写出所有正确命题的序号）．

三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

16．（本小题满分12分）

已知集合A={x|2x＜8}，B={x|x2﹣2x﹣8＜0}，C={x|a＜x＜a+1}．

（Ⅰ）求集合A∩B；

（Ⅱ）若C?B，求实数a的取值范围．

17．（本小题满分12分）

设命题p：函数y=kx+1在R上是增函数，命题q：曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，如果p∧q是假命题，p∨q是真命题，求k的取值范围．

18．（本小题满分12分）

在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点
在角α的终边上，点
在角β的终边上，且

(1)求

(2)求P，Q的坐标并求
的值

19．（本小题满分12分）

在
中，
分别是角
的对边，已知
．

（Ⅰ）若
，求
的大小；

（Ⅱ）若
，
的面积
，且
，求
．

20．（本小题满分13分）

定义在实数集上的函数f（x）=x2+x，g（x）=
x3﹣2x+m．

（1）求函数f（x）的图象在x=1处的切线方程；

（2）若f（x）≥g（x）对任意的x∈[﹣4，4]恒成立，求实数m的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）=2sin（ωx+φ）
图象上的任意两点，且角φ的终边经过点
，若|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为
．

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）的单调递增区间；

（3）当
时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．

2014-2015学年高三10月考数学试卷（理科）

数学答案

选择题

1-5：BBCAD 6-10：BBAAC

二、填空题

11. a23·a24 12.
13. （﹣
，0） 14.
15．①②

三、解答题

三、解答题（第16-19题，每题12分，第20题13分，第21题14分）

16．

（I）解指数不等式求出A，解二次不等式求出B，进而可得集合A∩B；

（Ⅱ）若C?B，则
，解不等式组可得实数a的取值范围．





解：（Ⅰ）由2x＜8，得2x＜23，x＜3．（3分）

解不等式x2﹣2x﹣8＜0，得（x﹣4）（x+2）＜0，

所以﹣2＜x＜4．（6分）

所以A={x|x＜3}，B={x|﹣2＜x＜4}，

所以A∩B={x|﹣2＜x＜3}．（9分）

（Ⅱ）因为C?B，

所以
（11分）

解得﹣2≤a≤3．

所以，实数a的取值范围是[﹣2，3]．（13分）



17．析：

易得p：k＞0，q：
或
，由p∧q是假命题，p∨q是真命题，可得p，q一真一假，分别可得k的不等式组，解之可得．



解答：

解：∵函数y=kx+1在R上是增函数，∴k＞0，

又∵曲线y=x2+（2k﹣3）x+1与x轴交于不同的两点，

∴△=（2k﹣3）2﹣4＞0，解得
或
，

∵p∧q是假命题，p∨q是真命题，∴命题p，q一真一假，

①若p真q假，则
，∴
；

②若p假q真，则
，解得k≤0，

综上可得k的取值范围为：（﹣∞，0]∪[
，
]

18．解：（1）∵
， ∴
……………2分

∴
，

∴
. ……………5分

（2）由（1）得：
， ∴

， ∴
……………7分

∴
，
， ……………9分

∴
，
，

，
， ……………11分

……………12分



19.

　

即

化简得：
……② …………………………………………………10分

又因为

并联立①②解得:
,
…………………………………………………12分

20．分析：

（1）求切线方程，就是求k=f′（1），f（1），然后利用点斜式求直线方程，问题得以解决；

（2）令h（x）=g（x）﹣f（x），要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，转化为求最值问题．



解答：

解：（1）∵f（x）=x2+x

∴f′（x）=2x+1，f（1）=2，

∴f′（1）=3，

∴所求切线方程为y﹣2=3（x﹣1），

即3x﹣y﹣1=0；

（2）令h（x）=g（x）﹣f（x）=
x3﹣2x+m﹣x2﹣x=
x3﹣3x+m﹣x2

∴h′（x）=x2﹣2x﹣3，

当﹣4＜x＜﹣1时，h′（x）＞0，

当﹣1＜x＜3时，h′（x）＜0，

当3＜x＜4时，h′（x）＞0，

要使f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）max≤0，

由上知h（x）的最大值在x=﹣1或x=4取得，

而h（﹣1）=
，h（4）=m﹣
，

∵m+

，∴
，即m
．



21．分析：

（1）利用三角函数的定义求出φ的值，由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为
，可得函数的周期，从而可求ω，进而可求函数f（x）的解析式；

（2）利用正弦函数的单调增区间，可求函数f（x）的单调递增区间；

（3）当
时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，等价于
，由此可求实数m的取值范围．



解答：

解：（1）角φ的终边经过点
，

∴
，…（2分）

∵
，∴
．…（3分）

由|f（x1）﹣f（x2）|=4时，|x1﹣x2|的最小值为
，得
，

即
，∴ω=3…..（5分）

∴
…（6分）

（2）由
，

可得
，…（8分）

∴函数f（x）的单调递增区间为
k∈z…（9分）

（3 ） 当
时，
，…（11分）

于是，2+f（x）＞0，

∴mf（x）+2m≥f（x）等价于
…（12分）

由
，得
的最大值为
…（13分）

∴实数m的取值范围是
．…（14分）