高三第一次月考数学试卷（文科）2014.10

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设x∈Z，集合A为偶数集，若命题p：?x∈Z，2x∈A，则￢p（　　）

A．

?x∈Z，2x?A

B．

?x?Z，2x∈A

C．

?x∈Z，2x∈A

D．

?x∈Z，2x?A



2．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b﹣a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是（　　）

A．

3

B．

4

C．

5

D．

6



3．（2013?烟台一模）已知幂函数y=f（x）的图象过点
，则log2f（2）的值为（　　）

A．



B．

﹣

C．

2

D．

﹣2



4．在△ABC中，内角A、B的对边分别是a、b，若
，则△ABC为（　　）

A．

等腰三角形

B．

直角三角形



　

C．

等腰三角形或直角三角形

D．

等腰直角三角形



5．若当x∈R时，函数f（x）=a|x|（a＞0且a≠1）满足f（x）≤1，则函数y=loga（x+1）的图象大致为（　　）

A．



B．



C．



D．





6．已知
，给出下列四个结论：

①a＜b ②a+b＜ab ③|a|＞|b| ④ab＜b2

其中正确结论的序号是（　　）

A．

①②

B．

②④

C．

②③

D．

③④



7．等差数列{an}的前20项和为300，则a4+a6+a8+a13+a15+a17等于（　　）

A．

60

B．

80

C．

90

D．

120



8．（5分）已知函数
（a∈R），若函数f（x）在R上有两个零点，则a的取值范围是（　　）

A．

（﹣∞，﹣1）

B．

（﹣∞，1]

C．

[﹣1，0）

D．

（0，1]



9．已知函数
（ω＞0）的最小正周期为π，将函数y=f（x）的图象向右平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，则m的最小值为（　　）

A．



B．



C．



D．





10．已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x∈R，都有f（x）=f（2-x）成立，且当x∈（-∞，1）时，（x-1）f′（x）＜0（其中f'（x）为f（x）的导数）．设a＝f(0)，b＝
，c＝f(3)，则a、b、c三者的大小关系是（　　）

A．a＜b＜c　　　B．c＜a＜b　　C．c＜b＜a　　D．b＜c＜a

二、填空题：本大题共5小题．每小题5分，共25分．

11．
．

12．（2014?广东模拟）计算
÷
=　_________　．

13．若
，则
=　_________　．　

14．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集为{
，则f（2x）＞0的解集为　_________　．

15．给出下列命题：

①若y=f（x）是奇函数，则y=|f（x）|的图象关于y轴对称；

②若函数f（x）对任意x∈R满足f（x）?f（x+4）=1，则8是函数f（x）的一个周期；

③若logm3＜logn3＜0，则0＜m＜n＜1；

④若f（x）=e|x﹣a|在[1，+∞）上是增函数，则a≤1．

其中正确命题的序号是　_________　．

三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤．

16．（12分）已知全集U=R，集合A={
}，B={x|
}．

（Ⅰ）求（?UA）∪B；

（Ⅱ）若集合C={x|x+m2≥
}，命题p：x∈A，命题q：x∈C，且p命题是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．

17．（12分）已知函数

（Ⅰ）求函数f（x）的最大值和单调区间；

（Ⅱ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知
，c=2且sinB=3sinA，求△ABC的面积．

18．（12分）如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值．

19.

20．（13分）已知公比为q的等比数列{an}是递减数列，且满足

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{（2n﹣1）?an}的前n项和Tn．

21．（14分）已知f（x）=aln（x﹣1），g（x）=x2+bx，F（x）=f（x+1）﹣g（x），其中a，b∈R．

（I）若y=f（x）与y=g（x）的图象在交点（2，k）处的切线互相垂直，求a，b的值；

（Ⅱ）当b=2﹣a，a＞0时，求F（x）的最大值；

（Ⅲ）若x=2是函数F（x）的一个极值点，x0和1是F（x）的两个零点，且x0∈（n，n+1），n∈N，求n．

一、选择题：

1-5 DBACC， 6-10 BCDAB

二、填空题

11．
　　12．-20　　13．7 14．{x|x＜﹣1或x＞1}　　15．①②④

16.



解（Ⅰ）：A={
}={
}={y|
≤y≤2}，

B={x|
}={x|1﹣|x|≥0}={x|﹣1≤x≤1}，

∴?UA={y|y＞2或y＜
}，（?UA）∪B={x|x≤1或x＞2}．

（Ⅱ）∵命题p是命题q的充分条件，

∴A?C，

∵C={x|x≥
﹣m2}，∴
﹣m2≤
，

∴m2≥
，∴m≥
或m≤﹣

∴实数m的取值范围是（﹣∞，﹣
]∪[
，+∞）．



17．

解：
=2
sinxcosx+sin2x﹣cos2x=
=
．

（I）∵2sin（2x﹣
）≤2，∴函数f（x）的最大值为2．

由﹣
+2kπ≤
≤
+2kπ?﹣
+kπ≤x≤
+kπ，k∈z．

∴函数f（x）的单调递增区间为[﹣
+kπ，
+kπ]，（k∈Z）

由2kπ+
≤2x﹣
≤2kπ+
?kπ+
≤x≤kπ+
，k∈z，

∴函数f（x）的单调递减区间为[kπ+
，kπ+
]，k∈z．

（II）∵
，∴
，又﹣
＜
＜
，

∴
=
，
，

∵sinB=3sinA，∴b=3a，

∵c=2，4=a2+9a2﹣2×a×3a
，∴a2=
，

∴S△ABC=
absinC=
×3a2sinC=
×3×
×
=
．



18．

解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，

∴y=
．

即矩形区域ABCD的面积

S=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（
+2）=800+6x+
+8≥808+2
=968．

当且仅当6x=
，即x=
时取“=”，

∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．




　

20．

解：由a1a2a3=
，及等比数列性质得
=
，解得a2=
，

由a1+a2+a3=
得a1+a3=

由以上得
，

∴
=
，即3q2﹣10q+3=0，解得q=3，或q=
．

∵{an}是递减数列，故q=3舍去，

∴q=
，由a2=
，得a1=1．

故数列{an}的通项公式为an=
（n∈N*）．

（II）由（I）知（2n﹣1）?an=
，

∴Tn=1+
+
+…+
①，
Tn=
+
++…+
+
②．

①﹣②得：
Tn=1+
+
+
+…+
﹣

=1+2（
+
+
+…+
）﹣

=1+2?
﹣
=2﹣
﹣
，

∴Tn=3﹣
．









　

21．

解：（I）f′（x）=
，g'（x）=2x+b…（1分）

由题知
，即
…（2分）

解得a=﹣
，b=﹣2．

（Ⅱ）当b=2﹣a时，F（x）=alnx﹣[x2+（2﹣a）x]，

∴F′（x）=
﹣2x﹣（2﹣a）=
=
，﹣﹣﹣﹣（6分）

∵a＞0，∴
＞0，又x＞0，x+1＞0，

则由F′（x）=0，解得x=
，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）

F（x）与F′（x）的变化情况如下表：

x

（0，
）



（
，+∞）



F′（x）

+

0

﹣



F（x）

↗

极大值

↘



∴F（x）max=F（
）=aln
﹣[
]=aln
+
﹣a．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

（Ⅲ）F（x）=f（x+1）﹣g（x）=alnx﹣（x2+bx），F′（x）=
﹣2x﹣b

由题知
，即
，即解得a=6，b=﹣1…（11分）

∴F（x）=6lnx﹣（x2﹣x），F′（x）=
﹣2x+1=
，

∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2

∴F（x）在（0，2）上单调递增，在（2，+∞）单调递减，

故F（x）至多有两个零点，其中x1∈（0，2），x2∈（2，+∞）…（12分）

又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3﹣1）＞0，F（4）=6（ln4﹣2）＜0

∴x0∈（3，4），故n=3 …（14分）