（满分150分，考试时间120分钟，请将答案填写在答题卡上）

一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知两个集合
，
，则
=

A．
B．
C．
D．

2．已知i是虚数单位，a，b∈R，且
，则a＋b＝

A．1 B．－1 C．－2 D．－3

3．在等比数列
中，
则

A．3 B．
C．3或
D．
或

4．已知
、m是两条不同的直线，是个平面，则下列命题正确的是

A．若
//， //, 则
B．若
， //, 则

C．若
，,则
// D．若
//，,，则

5．在
中，若2a2+an﹣5=0，则自然数n的值是

A．10

B．9

C．8

D．7

6．右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的可能图象是

A．



B．



C．



D．





7．右图中，
为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，为该题的最终得分，当
时，
等于

A．10 B．9

C．8 D．7

8．函数y=2sinx的单调增区间是

A.［2kπ－
，2kπ＋
］（k∈Z）

B.［2kπ＋
，2kπ＋
］（k∈Z）

C.［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）

D.［2kπ，2kπ＋π］（k∈Z）

11．设函数
的图象过点（，–3），则a的值

A．2 B．–2 C．–  D．

12．给出定义:若
（其中为整数）,则叫做与实数 “亲密的整数”, 记作
,在此基础上给出下列关于函数
的四个命题:①函数
在
上是增函数;②函数
的图象关于直线
对称;③函数
是周期函数,最小正周期为1;④当
时，函数
有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.

A．②③④ B．①③ C．①② D．②④

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．函数
的最大值是 ．

14．

15．不等式
的解集是

16．已知
，各项均为正数的数列
满足
，若
，则
.

三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分12分）

已知函数

（1）判断
在
上的增减性，并证明你的结论

（2）解关于的不等式

（3）若
在
上恒成立，求的取值范围

19．（本小题满分12分）

某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人。

20．（本小题满分12分）

已知点M是椭圆C：
=1（a>b>0）上一点，F1、F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=4，

∠F1MF2 =60o， F1 MF2的面积为

（I）求椭圆C的方程；

（II）设N（0，2），过点p（-1，-2）作直线l，交椭圆C异于N的A、B两点，直线NA、NB的斜率分别为k1、k2，证明：k1+k2为定值．

21．（本小题满分12分）

已知函数
（
）.（Ⅰ）当
时，求
的图象在
处的切线方程；（Ⅱ）若函数
在
上有两个零点，求实数的取值范围；

（Ⅲ）若函数
的图象与轴有两个不同的交点
，且
，

求证：
（其中
是
的导函数）．

2015届高三第一次月考试卷理科数学参考答案

BDCD CBAA BBAA

(19) （Ⅰ）由题意得列联表：

语文优秀

语文不优秀

总计



外语优秀

60

100

160



外语不优秀

140

500

640



总计

200

600

800



因为K2＝≈16.667＞10.828，

所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系． …5分

（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是．

则X～B(3，)，P(X＝k)＝C()k()8－k，k＝0，1，2，3．

X的分布列为

X

0

1

2

3





p









…10分



E(X)＝3×＝． …12分

(21) （Ⅰ）当
时，
，
，切点坐标为
，

切线的斜率
，则切线方程为
，即
. 2分

（Ⅱ）
，则
，

∵
，故
时，
.当
时，
；当
时，
.

故
在
处取得极大值
. 4分

又
，
，
，则
，

∴
在
上的最小值是
. 6分

在
上有两个零点的条件是
解得
，

∴实数的取值范围是
. 8分

22证明　(1)∵a＋b＝1，a>0，b>0，

∴＋＋＝＋＋＝2。。。。。。。。。。。。。。。。。2分

＝2＝2＋4

≥4＋4＝8.

∴＋＋≥8. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分

(2)∵＝＋＋＋1，

由(1)知＋＋≥8. 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分

∴≥9.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10分