一、选择题：本大题共1 0小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1.已知a∈R，b∈R，若两集合相等，即＝{a2，a＋b,0}，则a2 014＋b2 014＝(　　 )

A.1 B.-1 C.0 D. 2

2．下列命题中为真命题的是(　　)

A．?x∈R，x2＋2x＋1＝0

B．?x0∈R，－≥0

C．?x∈N*，log2x＞0

D．?x0∈R，cos x0＞x＋2x0＋3

3.设
，
，
，则（ ）

（A）
（B）
（C）
（D）

4.已知命题p：?x∈R，x2－3x＋3≤0，则下列说法正确的是 ( )

A．
：?x∈R，
，且
为真命题

B．
：?x∈R，
，且
为假命题

C．
：?x∈R，
，且
为真命题

D．
：?x∈R，
，且
为假命题

5.已知函数f(x)＝则f(x)－f(－x)＞－1的解集为(　　)

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B.∪(0,1]

C．(－∞，0)∪(1，＋∞) D.∪(0,1)

6.由曲线y＝，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)

A.　 B．4　　 C. D．6

7.已知函数f(x)＝ax3＋bsin x＋4(a，b∈R)，f(lg(log210))＝5，则f(lg(lg 2))＝(　　)

　　A．3　　　B．4 C．－5　　　D．－1　

8．“a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

9.已知函数f(x)＝若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1,3)　　　　　B．(0,3) C．(0,2) D．(0,1)

10.设函数
，g(x)=
+b
+c,如果函数g(x)有5个不同的零点,则( )

A.b＜-2且c＞0 B.b＞-2且c＜0 C.b＜-2且c=0 D. b≥-2且c＞0

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11.若函数
的导函数
，则函数
的单调减区间是 _____.

12. 若(a＋1)
＜(3－2a)
，则a的取值范围是__________．

13.当x∈(1,2)时，不等式(x－1)
＜log
x恒成立，则实数a的取值范围为________．

14.设为实常数，
是定义在R上的奇函数，当
时，
.若“
，
”是假命题，则的取值范围为　　　　　　 .

15．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝1－x，则：

①2是函数f(x)的周期；

②函数f(x)在(1,2)上递减，在(2,3)上递增；

③函数f(x)的最大值是1，最小值是0；

④当x∈(3,4)时，f(x)＝x－3.

其中所有正确命题的序号是_　　　　　　

三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

16．（本小题满分12分）已知命题：任意
，有
，命题：存在
，使得
.若“或为真”，“且为假”，求实数的取值范围．

17（本小题满分12分）.已知函数f(x)＝ax＋x2－xln a－b(a，b∈R，a>1)，e是自然对数的底数．

(1)试判断函数f(x)在区间(0，＋∞)上的单调性；

(2)当a＝e ，b＝4时，求整数k的值，使得函数f(x)在区间(k，k＋1)上存在零点．

18. （本小题满分12分）函数f(x)＝ln x－

(1)当a＝－2时，求f(x)的最小值；

(2)若f(x)在[1，e]上的最小值为，求a的值．

19.（本小题满分12分）已知函数f(x)=lg[
]，设命题p：“f(x)的定义域为R”；命题q：“f(x)的值域为R”

(Ⅰ)分别求命题p、q为真命题时实数a的取值范围；

(Ⅱ)
是q的什么条件？请说明理由

20. （本小题满分13分）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（1）如果函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围；（2）求证对任意的n∈N*不等式ln(
+1) ＞
都成立．

21. （本题满分14分）已知函数
在[1，＋∞）上为增函数，

且θ∈（0，π），
，m∈R．

（1）求θ的值；

（2）若
在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；

（3）设
，若在[1，e]上至少存在一个
，使得
成立，求的取值范围．

高三第一次月考数学（理）试题答案2014-10-9

4.【答案】C

5.当0＜x≤1时，－1≤－x＜0，此时，f(x)＝－x＋1，f(－x)＝－(－x)－1＝x－1，

∴f(x)－f(－x)＞－1化为－x＋1－(x－1)＞－1，解得x＜， 则0＜x≤1.

故所求不等式的解集为∪(0,1]． B正确

方法二：画出函数f(x)＝的图象如图所示．

由图可知f(x)为奇函数，从而由f(x)－f(－x)＞－1，可知f(x)＞－，解得

6.【解析】　作出曲线y＝，直线y＝x－2的草图(如图所示)，所求面积为阴影部分的面积．

由得交点A(4,2)． 因此y＝与y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为

[－(x－2)]dx＝(－x＋2)dx

＝＝×8－×16＋2×4＝.

9【解析】　画出函数f(x)的图象如图所示，

观察图象可知，若方程f(x)－a＝0有三个不同的实数根，则函数y＝f(x)的图象与直线y＝a有3个不同的交点，此时需满足0＜a＜1，故选D.

10.

11.

12.

13.【解析】　设y＝(x－1)2，y＝logax.在同一坐标系中作出它们的图象，如图所示．

若0＜a＜1，则当x∈(1,2)时，(x－1)2＜logax是不可能的，所以a应满足

解得1＜a≤2.所以，a的取值范围为{a|1＜a≤2}．

14.

15.解析：由已知条件：f(x＋2)＝f(x)，

则y＝f(x)是以2为周期的周期函数，①正确；当－1≤x≤0时0≤－x≤1，

f(x)＝f(－x)＝1＋x，

函数y＝f(x)的图像如图所示：

当3

f(x)＝f(x－4)＝x－3，因此②④正确，③不正确．答案：①②④

16.解析 ：解：p真，任意
，有
，即
在
恒成立，

则a≤1?????????????????????…（2分）q真，则△=（a-1）2-4＞0,即a＞3或a＜-1????…（4分）∵“p或q”为真,“p且q”为假,∴p,q中必有一个为真,另一个为假…（6分）当p真q假时，有
得-1≤a≤1?…（8分）当p假q真时，得a＞3????????…（10分）

∴实数a的取值范围为-1≤a≤1或a＞3?…（12分）

17.解：(1)f′(x)＝axln a＋2x－ln a＝2x＋(ax－1)ln a.

∵a>1，∴当x∈(0，＋∞)时，ln a>0，ax－1>0，

∴f′(x)>0，

∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．…………………………………………...4分

(2)∵f(x)＝ex＋x2－x－4，∴f′(x)＝ex＋2x－1，

∴f′(0)＝0，

当x>0时，ex>1，∴f′(x)>0，

∴f(x)是(0，＋∞)上的增函数；

同理，f(x)是(－∞，0)上的减函数．………………………………………….8分

又f(0)＝－3<0，f(1)＝e－4<0，f(2)＝e2－2>0，

当x>2时，f(x)>0，

∴当x>0时，函数f(x)的零点在(1,2)内，

∴k＝1满足条件；…………………………………………………………....10分

f(0)＝－3<0，f(－1)＝－2<0，

f(－2)＝＋2>0，

当x<－2时，f(x)>0，

∴当x<0时，函数f(x)的零点在(－2，－1)内，

∴k＝－2满足条件．

综上所述，k＝1或－2. ………………………………………………..…..12分

18【解】　(1)当a＝－2时，f(x)＝ln x＋，f′(x)＝

当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，∴f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数．∴f(x)min＝f(2)＝ln 2＋1. ----------------4分

(2)f′(x)＝，

①当a≥－1时，对任意x∈[1，e]，

f′(x)≥0，此时f(x)在[1，e]上为增函数，∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，

∴a＝－(舍)． -------------------------------…………………………………………. 6分

②当a≤－e时，对任意x∈[1，e]，

f′(x)≤0，此时f(x)在[1，e]上为减函数．∴f(x)min＝f(e)＝1－＝.

∴a＝－(舍)． -----------------------------------……………… 8分

③当－e＜a＜－1时，令f′(x)＝0，得x＝－a，当1＜x＜－a时，f′(x)＜0，

f(x)在(1，－a)上递减．同理，f(x)在(－a，e)上递增．∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，

∴a＝－.综上，a＝－. ---------------------……………………………. 12分

19.解:(Ⅰ)命题为真,即
的定义域是,等价于
恒成立,

等价于
或

解得
或
.∴实数的取值范围为
,
,
……………4分

命题为真,即
的值域是, 等价于
的值域
,

等价于
或

解得
.∴实数的取值范围为
,
……………8分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
:
;:
.

而
,∴
是的必要而不充分的条件 ……………12分

20：解：（1）由题意f′(x)＝2x+
＝

＝0在（-1，+∞）有两个不等实根，…………………………………………………………………………………………2分即2x2+2x+b=0在（-1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x2+2x+b，则

△＝4?8b＞0且g(?1)＞0， 0＜b＜
……………………… ….. 5分

（2）对于函数f（x）=x2-ln（x+1），令函数h（x）=x3-f（x）=x3-x2+ln（x+1）则h′(x)＝3x2?2x+
＝
，当x∈[0，+∞）时，h'（x）＞0，所以函数h（x）在[0，+∞）上单调递增，…………………………………………..9分又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）时，恒有h（x）＞h（0）=0即x2＜x3+ln（x+1）恒成立．取x＝
∈(0，+∞)，则有ln(
+1) ＞
恒成立． ……………………………….13分

21.解：（1）由题意，
≥0在
上恒成立，即
．

∵θ∈（0，π），∴
．故
在
上恒成立，只须
，即
，只有
．结合θ∈（0，π），得
………..…4分

（2）由（1），得

．
．

∵
在其定义域内为单调函数，

∴
或者
在[1，＋∞）恒成立． ………………6分

等价于
，即
，

而
，（
）max=1，∴
．

等价于
，即
在[1，＋∞）恒成立，

而
∈（0，1]，
．综上，m的取值范围是
……………… 9分

（3）构造
，
．

当
时，
，
，
，所以在[1，e]上不存在一个
，使得
成立． ……………………………………………………………..11分

当
时，
．因为
，所以
，
，所以
在
恒成立．

故
在
上单调递增， F(x) min =F(1)= -2e＜0,
，只要
，

解得
．故的取值范围是
． ……………………….. 14分