一、选择题：（本大题共有12道小题，每小题5分，共60分）

1．已知集合
，则
（ ）

A．
B．
C．
D．

2. 下列函数中既是奇函数，又在
上单调递增的是 （ ）

A．
B．
C．
D．

3．下列命题中错误的是

（ ）

A．命题“若则”与命题“若
则
”互为逆否命题.

B．命题
，命题
，
为真.

C．若
为假命题，则p、q均为假命题.

D．“若
”，则
的逆命题为真命题.

4. 函数f(x)＝ln的图象是 (　 　 )

5．已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且当
时，不等式
成立，若a＝30.2f(30.2)，b＝ (logπ2) f(logπ2)，

c＝
f
，则，
，间的大小关系 (　 )

A．
B．
C．
　 　D．

6．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且
的一个充分不必要条件是
，则a的取值范围是 (　 　)

A．(－∞，1]　　　B．[1，＋∞) C．[－1，＋∞)　　D．(－∞，－3]

7．若点P是函数
上任意一点，则点P到直线
的最小距离为 （ ）A．
B．
C．
D．3

8．已知
满足
，
为导函数，且导函数
的图象如图所示则
的解集是 （ ）

A．
　　B．
C．
　 　D．

9. 设f(x)是定义域为R的偶函数，且对任意实数x，恒有f(x＋1)＝－f(x)，已知
时，
，则函数
在（1，2）上 （ ）

A．是增函数，且
B．是增函数，且

C．是减函数，且
D．是减函数，且

10. 已知函数
，则
（ ）

A．2012 B．2013 C．2014 D．2015

11. 若函数
的大小关系是 ( )

A．
B．

C．
D．不确定

12. 设函数
在（1,2）内有零点，则实数a的取值范围是 （ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题（本大题共有4道小题，每小题5分,共20分）

13.（文）过点
与曲线
相切的直线方程是 .

（理）如图，矩形ABCD内的阴影部分是由曲线f(x)＝2x2－2x与直线y＝2x围成的，现向矩形ABCD内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率为________．

14. 设
的最大值是 .

15. 若函数
(
)满足
且
时，
,函数
,则函数
在区间
内零点的个数有___个.

16. 存在区间
（
），使得
，

则称区间
为函数
的一个“稳定区间”.给出下列4 个函数：

①
；②
；③
； ④

其中存在“稳定区间”的函数有___ .（把所有正确的序号都填上）

三、解答题(本大题共有5道小题，每小题12分,共60分)

17. 设
为常数）

（1）当
时，求
的最小值；

（2）求所有使
的值域为
的的值.

18. 设
.

(1) 当
时，
取到极值，求的值；

(2) 当满足什么条件时，
在区间[－，－]上有单调递增区间？

19．已知函数
，其中a∈R.

(1)当
时，求曲线
在点
处的切线的斜率；

(2)当
时，求函数
的单调区间与极值．

20. 某旅游风景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元。根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆。为了便于结算，每辆自行车的日租金（元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用（元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）.

（1）求函数
的解析式及其定义域；

（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

21. 已知函数
（
）．

(1) 当
时，证明：在
上，
；

(2)求证：
．

四、选考题（10分）

请考生在第22、23、24题任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分

22．选修4-1：几何证明选讲

如图，设
为线段
的中点，
是以
为一边的正方形，以为圆心，
为半径的圆与
及其延长线交于点
及.

（I）求证：
；

（II）若圆半径为，求
的值.

23．选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，动点
运动时，与
成反比，动点的轨迹经过点

（I）求动点轨迹的极坐标方程；

（II）以极点为直角坐标系原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，将（I）中极坐标方程化为直角坐标方程，并说明所得点轨迹是何种曲线.

24．选修4-5：不等式选讲

（I）解不等式
；

（II）
，证明：

兰州一中9月月考数学标准答案

一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



答案

B

C

D

B

A

B

A

B

D

D

C

B



二.填空题（本大题每小题5分，共20分）

为×2＝9，阴影部分的面积为(2x－2x2＋2x)dx＝＝，所以该点落在阴影部分的概率为＝.

14.
15. 12 16. ② ③

二.解答题

17. 解．(1)设

当
即
时，
…………6分

（2）

当
，即
时，
舍去

当
，即

…12分

18. 解：(1)由题意知，f(x)的定义域为(－1，＋∞)，

且f′(x)＝－2ax－1＝，

由题意得：f′(1)＝0，则－2a－2a－1＝0，得
. …4分

又当
时，f′(x)＝＝，

当01时，f′(x)>0，

所以f(1)是函数f(x)的极大值，所以
. …6分

(2)解法一：要使f(x)在区间[－，－]上有单调递增区间，

即要求2ax＋(2a＋1)>0在区间[－，－]上有解，

①当a＝0时，不等式恒成立；

②当a>0时，得x>－，此时只要－<－， 解得a>0；

③当a<0时，得x<－，此时只要－>－，解得－1

综上所述，
． …12分

解法二：要使f(x)在区间[－，－]上有单调递增区间，

即
在区间[－，－]上有解

即要求2ax＋(2a＋1)>0在区间[－，－]上有解，

即在区间[－，－]上，

而
在区间[－，－]单调递增，所以

综上所述，
．

19.解：(1)当a＝0时，f(x)＝x2ex，f′(x)＝(x2＋2x)ex，故f′(1)＝3e.

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为3e. …4分

(2)f′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a] ex

令f′(x)＝0，解得x＝－2a，或x＝a－2， …6分

由a≠知，－2a≠a－2.

以下分两种情况讨论：

①若a>，则－2a

x

(－∞，－2a)

－2a

(－2a，a－2)

a－2

(a－2，＋∞)



f′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)



极大值



极小值





所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函数，在(－2a，a－2)上是减函数．

函数f(x)在x＝－2a处取得极大值为f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.

函数f(x)在x＝a－2处取得极小值为f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2. …9分

②若a<，则－2a>a－2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x

(－∞，a－2)

a－2

(a－2，－2a)

－2a

(－2a，＋∞)



f′(x)

＋

0

－

0

＋



f(x)



极大值



极小值





所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函数，在(a－2，－2a)上是减函数．

函数f(x)在x＝a－2处取得极大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.

函数f(x)在x＝－2a处取得极小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a. …12分

20解．（1）当
时，
令
解得

当
时，

令
有

上述不等式的整数解为

故

定义域为
………6分

21.解：(1) 根据题意知，f′(x)＝ (x>0)，

当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0,1]，单调递减区间为(1，＋∞)；

当a<0时，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1]；

当a＝0时，f(x)不是单调函数．

所以a＝－1时，f(x)＝－ln x＋x－3， 在(1，＋∞)上单调递增，

所以f(x)>f(1)，

即f(x)>－2，所以f(x)＋2>0. …………6分

(2) 由(1)得－ln x＋x－3＋2>0，即－ln x＋x－1>0，

所以ln x

则有0

∴···…· < ···…·＝(n≥2，n∈N*)． …12分

22．（I）证明：连结DH、DK，别，DH⊥DK …………2分

Rt△DHC∽Rt△KDC

∵DC=BC ∴
…………5分

（II）连结AD则AC=CD=BC ∴AB⊥BD，AD=BD=2 …………7分

AD为圆B切线

∴
…………10分

23解：（I）设

则
………5分

（II）

………7分

∴

P点轨迹是开口向下，顶点为（0,1）的抛物线 ……10分

24.解：（I）

…………2分

或
或

得不等式解为
………5分

（II）证明：