2014-2015学年河南省洛阳市高三（上）期中

数学试卷（文科）

一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的）

1．设集合A={0，1}，B={﹣1，0，m﹣2}，若A?B，则实数m=（　　）

　 A． 0 B． 1 C． 2 D． 3

2．设复数z1=1+i，z2=2+bi，其中i为虚数单位，若z1?z2为实数，则实数b=（　　）

　 A．﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2

3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S8=32，则a2+a7=（　　）

　 A． 1 B． 4 C． 8 D． 9

4．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=3，AD=
，AA1=h，则异面直线BD与B1C1所成的角为（　　）

　 A． 30° B． 60°

　 C． 90° D． 不能确定，与h有关

5．某程序的框图如图所示，运行该程序时，若输入的x=0.1，则运行后输出的y值是（　　）

　 A．﹣1 B． 0.5 C． 2 D． 10

6．抛物线y2=4x的焦点到双曲线
的渐近线的距离是（　　）

　 A．
B．
C． 1 D．

7．已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x+4）=f（x），当x∈（0，2）时，f（x）=2x2，则f（2015）=（　　）

　 A． 2 B． ﹣2 C． 8 D． ﹣8

8．已知向量
=（cosθ，sinθ），θ∈（
，π），
=（0，﹣1），则
与
的夹角等于（　　）

　 A．θ﹣
B．
+θ C．
﹣θ D． θ

9．直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B 两点，则“k=1”是“△OAB的面积为
”的（　　）

　 A．充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件

　 C．充分必要条件 D． 既不充分又不必要条件

10． x、y满足约束条件
，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为7，则
的最小值为（　　）

　 A． 14 B． 7 C． 18 D． 13

11．若函数f（x）=
x2﹣ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是（　　）

　 A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞） B． （﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

C． [2，+∞） D． （2，+∞）

12．已知定义在实数集R上的函数f（x）满足f（1）=2，且f（x）的导数f′（x）在R上恒有f′（x）＜1（x∈R），则不等式f（x）＜x+1的解集为（　　）

　 A．（1，+∞） B．（﹣∞，﹣1）

C．（﹣1，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）

二、填空题（每小题5分，共20分）

13．等比数列{an}的各项都是正数，若a3a15=64，则log2a9等于　_________　．

14．在面积为S的△ABC内任取一点P，则△PAB的面积大于
的概率为　_________　．

15．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体的体积为　_________　．

16．已知函数f（x）=1﹣ax﹣x2，若对于?x∈[a，a+1]，都有f（x）＞0成立，则实数a的取值范围是　_________　．

三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c=2，C=
．

（1）若△ABC的面积等于
，求a，b；

（2）若cosA=
，求b．

18．（12分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：

健康指数

2

1

0

﹣1



60岁至79岁的人数

120

133

34

13



80岁及以上的人数

9

18

14

9



其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．

（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？

（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．

19．（12分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点．

（1）求证：BC1∥平面CA1D；

（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B；

（3）若底面ABC为边长为2的正三角形，BB1=
，求三棱锥B1﹣A1DC的体积．

20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆
的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中点P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k

（1）若直线PA平分线段MN，求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

21．（12分）已知函数f（x）=x+alnx．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围．

请在下面的三个题中任选一题做答【选修4—1】集合证明选讲

22．（10分） 如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE．

（1）证明：AE是⊙O的切线；

（2）如果AB=2
，AE=
，求CD．

【选修4—4】坐标系与参数方程

23．已知直线l的参数方程为
（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半径为极轴）中，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．

（1）分别将直线l和曲线C的方程化为直角坐标系下的普通方程；

（2）设直线l与曲线C交于P、Q两点，求|PQ|．

【选修4—5】不等式选讲

24．设函数f（x）=
+
的最大值为M．

（Ⅰ）求实数M的值；

（Ⅱ）求关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M的解集．



19． 证明：（1）连接AC1交A1C于点E，连接DE

∵四边形AA1C1C是矩形，则E为AC1的中点

又∵D是AB的中点，DE∥BC1，

又DE?面CA1D，BC1?面CA1D，

∴BC1∥平面CA1D；

（2）AC=BC，D是AB的中点，

∴AB⊥CD，

又∵AA1⊥面ABC，CD?面ABC，

∴AA1⊥CD，

∵AA1∩AB=A，

∴CD⊥面AA1B1B，

又∵CD?面CA1D，

∴平面CA1D⊥平面AA1B1B

（3）则由（2）知CD⊥面ABB1B，

∴三棱锥B1﹣A1DC底面B1A1D上的高就是CD=
，

又∵BD=1，BB1=
，

∴A1D=B1D=A1B1=2，
=
，

∴三棱锥B1﹣A1DC的体积
=
=
=1

20． 解：（1）由题设知，a=2，b=
，

故M（﹣2，0），N（0，﹣
），所以线段MN中点坐标为（﹣1，﹣
）．

由于直线PA平分线段MN，故直线PA过线段MN的中点，又直线PA过原点，

所以k=
．

（2）直线PA的方程为y=2x，代入椭圆方程得
，解得x=±
，

因此P（
，
），A（﹣
，﹣
）

于是C（
，0），直线AC的斜率为1，故直线AB的方程为x﹣y﹣
=0．

因此，d=
．

（3）设P（x1，y1），B（x2，y2），则x1＞0，x2＞0，x1≠x2，

A（﹣x1，﹣y1），C（x1，0）．

设直线PB，AB的斜率分别为k1，k2．

因为C在直线AB上，所以k2=
，

从而kk1+1=2k1k2+1=2?
=

=
=
．

因此kk1=﹣1，所以PA⊥PB．

21． 解：（I）∵f（x）=x+alnx，∴x＞0，
，

∴当a≥0时，在x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，

∴f（x）的单调增区间是（0，+∞），没的减区间；

当a＜0时，函数f（x）与f′（x）在定义域上的情况如下：

x （0，﹣a） ﹣a （﹣a，+∞）

f′（x） ﹣ 0 +

f（x） ↘ 极小值 ↗

函数的增区间是（﹣a，+∞），减区间是（0，a）．

（II）由（I）可知

当a＞0时，（0，+∞）是函数f（x）的单调增区间，且有f（e
）=
﹣1＜1﹣1=0，f（1）=1＞0，

所以，此时函数有零点，不符合题意；

当a=0时，函数f（x）在定义域（0，+∞）上没零点；

当a＜0时，f（﹣a）是函数f（x）的极小值，也是函数f（x）的最小值，

所以，当f（﹣a）=a[ln（﹣a）﹣1]＞0，即a＞﹣e时，函数f（x）没有零点，

综上所述，当﹣e＜a≤0时，f（x）没有零点．

22．

（1）证明：连结OA，在△ADE中，AE⊥CD于点E，

∴∠DAE+∠ADE=90°

∵DA平分∠BDC．

∴∠ADE=∠BDA

∵OA=OD

∴∠BDA=∠OAD

∴∠OAD=∠ADE

∴∠DAE+∠OAD=90°

即：AE是⊙O的切线

（2）在△ADE和△BDA中，

∵BD是⊙O的直径

∴∠BAD=90°

由（1）得：∠DAE=∠ABD

又∵∠BAD=∠AED

∵AB=2

求得：BD=4，AD=2

∴∠BDA=∠ADE=∠BDC=60°

进一步求得：CD=2

故答案为：（1）略

（2）CD=2

23． 解：（1）直线l的参数方程为
（t为参数），普通方程为y=
x+2﹣2
；

圆ρ=4cosθ，等式两边同时乘以ρ得到ρ2=4ρcosθ，即x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4；

（2）x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4，表示以（2，0）为圆心，半径等于2的圆．

圆心到直线的距离为
=1，

∴|PQ|=2
=2
．

24． 解：（Ⅰ）函数f（x）=
+
=
?
+
≤
?
=3，

当且仅当
=
，即 x=4时，取等号，故实数M=3．

（Ⅱ）关于x的不等式|x﹣1|+|x+2|≤M，即|x﹣1|+|x+2|≤3．

由绝对值三角不等式可得|x﹣1|+|x+2|≥|（x﹣1）﹣（x+2）|=3，

∴|x﹣1|+|x+2|=3．

根据绝对值的意义可得，当且仅当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|=3，

故不等式的解集为[﹣2，1]．