长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学试题卷(理科)

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填写在答题卡上）

1. 已知集合
，
，若
，则

A.
　　 B.
C.
或
　 D.
或

2. 如图，在复平面内，复数
和
对应的点分别是和，则

A.
　　 B.

C.
D.

3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是

A.
B.
C.
D.

4. 已知向量
、满足
，
，
，则

A.
　　 B. 3 C.
　 D.

5. 已知、取值如下表：

0

1

4

5

6





1.3





5.6

7.4



画散点图分析可知：与线性相关，且求得回归方程为
，则的值（精确到0.1）为

A. 1.5 B. 1.6 C. 1.7 D. 1.8

6. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A.
　　

B.

C.
　

D.

7. 已知数列
为等差数列，其前项和为
，若
，
，则该等差数列的公差

A.
　　 B. C.
　 D.

8. 函数
的部分图像可能是

A B C D

9. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是

A. 14　　 B. 15 C. 16 　 D. 17

10. 若
，
，
，则“
”是“
”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

11.过抛物线

的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，
是坐标原点，当
时，直线
的斜率的取值范围是

A.

B.

C.

D.

12. 已知定义在上的函数
满足①
，②
，③在
上表达式为
，则函数
与函数
的图像在区间
上的交点个数为

A. 5　　 B. 6 C. 7 　 D. 8

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13. 若函数
，则
____________.

14. 在
的展开式中，
项的系数是____________.

15. 若实数
满足
，则
的取值范围是___________.

16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则半径为的球的内接正三棱柱的体积的最大值为__________.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（本小题满分10分）

在△
中，三个内角、、
所对的边分别为、
、，且
.

(1) 求角；

(2) 若△
的面积
，
，求
的值.

18.（本小题满分12分）

已知数列
的前项和为
，且满足
.

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 设
，求数列
的前项和
.

19.（本小题满分12分）

每年5月17日为国际电信日，某市电信公司每年在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 根据以往的统计结果绘出电信日当天参与活动的统计图，现将频率视为概率.

(1) 求某两人选择同一套餐的概率；

(2) 若用随机变量
表示某两人所获优惠金额的总和，求
的分布列和数学期望.

20.（本小题满分12分）

如图所示几何体是正方体
截去三棱锥
后所得，点
为
的中点.

(1) 求证：平面
平面
；

(2) 求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.

21.（本小题满分12分）

如图，椭圆

的左焦点为，过点的直线交椭圆于
两点.
的最大值是
，
的最小值是，满足
.

(1) 求该椭圆的离心率；

(2) 设线段
的中点为
，
的垂直平分线与轴和轴分别交于
两点，
是坐标原点. 记
的面积为
，
的面积为
，求
的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数
，其中为实数，常数
.

(1) 若
是函数
的一个极值点，求的值；

(2) 当
时，求函数
的单调区间；

(3) 当取正实数时，若存在实数，使得关于的方程
有三个实数根，求的取值范围.

长春市2014—2015学年新高三起点调研考试

数学（理科）试题答案及评分参考

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. C 2. A 3. D 4. B 5. C 6. D

7. B 8. B 9. C 10. B 11. D 12. B

简答与提示：

【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.

【试题解析】C　由题可得
或
，则
，又当
时，集合出现重复元素，因此
或
. 故选C.

【命题意图】本题考查复数的除法运算与复数模的概念，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.

【试题解析】A 由图可知：
，
，，则
. 故选A.

【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查.

【试题解析】D　由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项
单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值. 故选D.

【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.

【试题解析】B 由
，且
可知，
. 故选B.

【命题意图】本题考查了回归直线的特征，对解释变量的运算也有提及.

【试题解析】C　将
代入回归方程为
可得
，则
，解得
，即精确到0.1后的值为
. 故选C.

【命题意图】本题通过三视图考查几何体表面积的运算.

【试题解析】D　如图所示，该几何体的表面积为半球面积与圆锥侧面积之和，

即
. 故选D.

【命题意图】本题考查数列基本量的求法.

【试题解析】B　由题意，
，
，

作差可得
，即
. 故选B.

【命题意图】本题通过图像考查函数的奇偶性以及单调性.

【试题解析】B　由题可知，
为奇函数，且
存在多个零点导致
存在多个零点，故
的图像应为含有多个零点的奇函数图像. 故选B.

【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.

【试题解析】C　由程序框图可知，从
到
得到
，因此将输出
. 故选C.

【命题意图】本题考查指对幂三种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.

【试题解析】B　如右图可知，“
”
“
”，但“
”
“
”，即“
”是“
”的必要不充分条件. 故选B.

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.

【试题解析】D　由题可知，点的横坐标
时，满足
，此时
，故直线
（即直线
）的斜率的取值范围是
. 故选D.

【命题意图】本题借助分段函数考查函数的周期性、对称性以及函数图像交点个数等问题.

【试题解析】B　根据①可知
图像的对称中心为
，根据②可知
图像的对称轴为
，结合③画出
和
的部分图像，如图所示，据此可知
与
的图像在
上有6个交点. 故选B.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.
14.
15.
16.

简答与提示：

【命题意图】本题考查利用微积分基本定理求解定积分的知识. 【试题解析】计算可得
.

【命题意图】本题考查二项展开式系数问题. 【试题解析】在
的展开式中，
项是
，故
的系数为
.

【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识. 【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数
的几何意义为区域内点到原点距离的平方，故的取值范围是
.

【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体体积的最值问题. 【试题解析】设三棱柱的高为
，由题意可得，正三棱柱的体积为
，求导可得当
时，
取得最大值为
.

三、解答题

(本小题满分10分)

【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力.

【试题解析】解：(1) 根据正弦定理

可化为

即
 整理得
，即
，
. （5分）

(2) 由△
的面积
，可知
，而

由余弦定理得
. （10分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法，其中涉及错位相减法在数列求和问题中的应用.

【试题解析】解：(1) 当
时，
，解得

当
时，
，有
，

所以数列
是以2为首项，2为公比的等比数列，有
. （6分）

(2) 由（1）知
，有

①

①
，
②

①-②，得

整理得
. （12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过分布列的计算，考查学生的数据处理能力.

【试题解析】解：(1) 由题意可得某两人选择同一套餐的概率为

. （4分）

(2) 由题意知某两人可获得优惠金额
的可能取值为400，500，600，700，800，1000.

（8分）

综上可得
的分布列为：

400

500

600

700

800

1000