长春市2014—2015学年新高三起点调研考试数学试题卷(文科)

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项涂在答题卡上）

1. 已知集合
，
，若
，则

A.　　 B. C.或　 D.或或

2. 如图，在复平面内，复数
和
对应的点分别是和，则

A.
　 B.

C.
D.

3. 下列函数中，既是奇函数又存在极值的是

A.
B.
C.
D.

4. 已知向量
、满足
，
，
，则

A.
　　 B.
C.
　 D.

5. 已知
，则

A.
B.
C.
D.

6. 右图为一个半球挖去一个圆锥的几何体的三视图，则该几何体的体积为

A.
　　 B.

C.
　 D.

7. 已知数列
为等差数列，其前项和为
，若
，
，则该等差数列的公差

A.
　　 B. C.
　 D.

8. 若
，
，则“
”是“
”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

9. 某圆的圆心在直线
上，并且在两坐标轴上截得的弦长分别为4和8，则该圆的方程为

A.

B.

C.
或

D.
或

10. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是

A. 14　　 B. 15 C. 16 　 D. 17

11. 函数
的图像可能是

A B C D

12. 过抛物线

的焦点作直线与此抛物线相交于、两点，
是坐标原点，当
时，直线
的斜率的取值范围是

A.
B.

C.
D.

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上).

13. 若实数
满足
，则
的最小值为___________.

14. 某渔民在鱼塘中随机打捞出60条大鱼，对它们做了标记后放回鱼塘，在几天后的又一次随机捕捞中打捞出80条大鱼，且其中包含标记后的大鱼5条，则鱼塘中大鱼的数量的估计值为___________.

15. 若函数

为偶函数，则
__________.

16. 底面为正三角形且侧棱与底面垂直的三棱柱称为正三棱柱，则棱长均为的正三棱柱外接球的表面积为__________.

三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.

17.（本小题满分10分）

已知等比数列
的各项均为正数，且
，
.

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 设
，求数列
的前项和
.

18.（本小题满分12分）

在△
中，三个内角、、
所对的边分别为、
、，且
.

(1) 求角；

(2) 若△
的面积
，
，求
的值.

19.（本小题满分12分）

每年5月17日为国际电信日，某市电信公司在电信日当天对办理应用套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 电信日当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.

(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；

(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再从该6人中随机选出两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.

20.（本小题满分12分）

如图所示几何体是正方体
截去三棱锥
后所得，点
为
的中点.

(1) 求证：
平面
；

(2) 当正方体棱长等于
时，求三棱锥
的体积.

21.（本小题满分12分）

如图，椭圆

的左焦点为，过点的直线交椭圆于
两点.
的最大值是
，
的最小值是，满足
.

(1) 求该椭圆的离心率；

(2) 设线段
的中点为
，
的垂直平分线与轴和轴分别交于
两点，
是坐标原点. 记
的面积为
，
的面积为
，求
的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知函数
，其中为实数，常数
.

(1) 若
是函数
的一个极值点，求的值；

(2) 当取正实数时，求函数
的单调区间；

(3) 当
时，直接写出函数
的所有减区间.

长春市2014—2015学年新高三起点调研考试

数学（文科）试题答案及评分参考

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. C 2. D 3. D 4. C 5. B 6. D

7. B 8. B 9. C 10. C 11. A 12. D

简答与提示：

【命题意图】本题考查集合中子集的概念与集合中元素的互异性.

【试题解析】C　由题可得
或
才能满足集合的互异性. 故选C.

【命题意图】本题考查复数的除法运算，另外对复平面上点与复数的对应也提出较高要求.

【试题解析】D 由图可知：
，
，则
. 故选D.

【命题意图】本题考查函数奇偶性的概念，同时也对函数单调性与函数极值做出考查.

【试题解析】D　由题可知，B、C选项不是奇函数，A选项
单调递增（无极值），而D选项既为奇函数又存在极值. 故选D.

【命题意图】本题主要对向量的运算进行考查，同时也对向量的几何意义等考点提出一定的要求.

【试题解析】C 由
，且
可知，
. 故选C.

【命题意图】本题考查同角基本关系以及二倍角公式.

【试题解析】B　将
两边平方得，
，可得
，故选B.

【命题意图】本题通过三视图考查几何体体积的运算.

【试题解析】D 几何体体积=半球体积-圆锥体积=
，选D.

【命题意图】本题考查数列基本量的求法.

【试题解析】B　由题意，
，
，

作差可得
，即
. 故选B.

【命题意图】本题考查指对两种基本初等函数的图像和充要条件的概念等基础知识.

【试题解析】B　如右图可知，“
”
“
”，而 “
”
“
”，因此“
”是“
”的必要不充分条件. 故选B.

【命题意图】本题考查圆的标准方程以及弦长的基本知识.

【试题解析】C由题意可设圆心为
，半径为，则有
或
，解得
，故选C.

【命题意图】本题利用程序框图考查对数的运算性质及对数不等式的求解.

【试题解析】C　由程序框图可知，从
到
得到
，因此将输出
. 故选C.

【命题意图】本题通过图像考查绝对值函数以及函数的值域、奇偶性和单调性.

【试题解析】A 由条件可知，该函数定义域为
，且
，所以该函数为奇函数，图像关于原点对称，排除B、C，当
时，
，从而排除D. 故选A.

【命题意图】本题考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的位置关系等知识.

【试题解析】D　由题可知，点的横坐标
时，满足
，此时
，故直线
（即直线
）的斜率的取值范围是
. 故选D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13. 1 14. 960 15.
16.

简答与提示：

【命题意图】本题考查线性规划以及目标函数的几何意义等知识. 【试题解析】由题可知，可行域如右图，目标函数
的几何意义为过区域内点的直线
的截距大小，故的最小值是1.

【命题意图】本题考查用样本对总体的估计.

【试题解析】设鱼塘中大鱼数量的估计值为
，有
，从而估算出
=960.

【命题意图】本题考查三角函数奇偶性、两角和差公式和诱导公式运用. 【试题解析】由题意可知
为偶函数，所以
，根据
，有

【命题意图】本题考查正棱柱与球体等基本几何体表面积问题. 【试题解析】底面正三角形外接圆的半径为
，圆心到底面的距离为
，从而其外接圆的半径
，则该球的表面积
.

三、解答题

(本小题满分10分)

【命题意图】本题考查数列通项公式及其前项和公式的求法.

【试题解析】解：(1) 设等比数列的公比为，有
，

解得
，所以
； （5分）

(2) 由(1)知
，有
，

从而
. （10分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查正弦定理与余弦定理在解三角形问题中的应用，结合三角形面积的求法综合考查学生的运算求解能力.

【试题解析】解：(1) 根据正弦定理

可化为

即
 整理得
，即
，
. （6分）

(2) 由面积
，可知
，而
，

所以
，由
可得△
为等边三角形，所以
. （12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题主要考查学生对概率知识的理解，通过考查随机抽样，对学生的数据处理能力提出较高要求.

【试题解析】(1) 设事件=“某人获得优惠金额不低于300元”，则
. （6分）

(2) 设事件=“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”，由题意按分层抽样方式选出的6人中，获得优惠200元的1人，获得优惠500元的3人，获得优惠300元的2人，分别记为
，从中选出两人的所有基本事件如下：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，共15个，其中使得事件成立的为
，
，
，
，共4个，则
. （12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识. 本题通过分层设计，考查了空间直线与平面的垂直关系，简单几何体体积的求法，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【试题解析】解：

(1) 证明：因为几何体是正方体
截取三棱锥
后所得，

； （6分）

(2) 由题意知
，点
到
的距离为
，

则△
的面积为
，由(1)知
平面

所以
. （12分）

(本小题满分12分)

【命题意图】本小题考查椭圆的离心率的有关运算，直线和椭圆的综合应用，考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力.

【试题解析】解：(1) 设