吉林市2015届高三第一次摸底考试

数学文试题

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．

1． 计算：i（i+1）=（　　）

　 A． i+1 B． i﹣1 C． ﹣i+1 D． ﹣i﹣1

2． 若A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣1}，则正确的是（　　）

　 A． A?B B． A∩B=? C． （?RA）∩B=B D． （?RA）∪B=B

3． 已知条件p：x＞1或x＜﹣3，条件q：x＞a，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（　　）

　 A． a≥1 B． a≤1 C． a≥﹣3 D． a≤﹣3

4．某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（　　）

　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

5．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
．则该几何体的俯视图可以是（　　）

函数f（x）=2sin（
+
）的图象向左平移
个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（　　）

　 A． g（x）=2sin（
+
）﹣1 B． g（x）=2sin（
﹣
）+1

C． g（x）=2sin（
﹣
）+1 D． g（x）=2sin（
﹣
）﹣1

7． 已知曲线y=
在点P（1，4）处的切线与直线l平行且距离为
，则直线l的方程为（　　）

　 A． 4x﹣y+9=0或4x﹣y+25=0 B． 4x﹣y+9=0

　 C． 4x+y+9=0或4x+y﹣25=0 D． 以上都不对

8．已知
，则
的值为（　　）

　 A．﹣2 B． ﹣1 C． 1 D． 2

9． 已知等差数列{an}的公差为2，若前17项和为S17=34，则a12的值为（　　）

　 A． 8 B． 6 C． 4 D． 2

10．如图，平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°，点M在AB边上，且AM=
AB，则
等于（　　）

　 A．﹣1 B． 1 C． ﹣
D．

11．已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（　　）

　 A． 2
B． 2
C． 4
D． 4

12． 一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“三角保型函数”，给出下列函数：

①f（x）=
；②f（x）=x2；③f（x）=2x；④f（x）=lgx，

其中是“三角保型函数”的是（　　）

　 A．①② B． ①③ C． ②③④ D． ③④

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 已知x，y满足不等式组
，则目标函数z=2x+y的最大值为　_________　．

14． 已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，则下列四个命题：

①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β

其中正确命题的序号是　_________　．

15． 已知正项等比数列{an}的公比q=2，若存在两项am，an，使得
=4a1，则
+
的最小值为　_________　．

16． 若动直线x=a与函数f（x）=sinxcosx和g（x）=cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为　_________　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知数列{an}是公差大于零的等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式

（Ⅱ）设cn=anbn+1，求数列{
}前n项和Tn．

18．（12分）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，3bcosA=ccosA+acosC．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）若△ABC的面积为2
，a=3，求b，c的长．

19．（12分）在某大学自主招生考试中，所有选报II类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．

（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．

20．（12分）如图，多面体AEDBFC的直观图及三视图如图所示，M，N分别为AF，BC的中点．

（1）求证：MN∥平面CDEF；

（2）求多面体A﹣CDEF的体积．

21．（12分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，并且经过定点P（
，
）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足
?
=
，若存在求m值，若不存在说明理由．

22．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2﹣a．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；

（Ⅱ）对任意a≤﹣3，使得f（1）是函数f（x）的区间[1，b]（b＞1）上的最大值，求实数b的取值范围．

数 学（文科）参考答案与评分标准

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



B

D

A

C

B

A

C

D

C

D

A

B





二、填空题：

13．6 14. ①③ 15.
16.

17．（本小题满分10分）

解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，数列
的公比为

由已知得：
，解得：
--------------------3分

因为
，所以
，

即
------------------------------------------6分

（Ⅱ）

----------------------------------------------------10分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由正弦定理得：

----------------------------------------------------------------------6分

（Ⅱ）由题意得：
，即：
------------------ 8分

由余弦定理得：

联立上述两式,解得：
或
. ---------------------------12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）因为数学科目的成绩为B的考生有10人， 10÷0.25=40

所以语文成绩为A的人数为：
---------------4分

（Ⅱ）

等级为A,B,C,D,E的人数分别为3，10，15，4，8，所以考生中数学科目平均分为

------------------------------------------8分

-------------------------------12分

20．（本小题满分12分）

解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF=
,

,连结BE, M在BE上，连结CE

EM=BM,CN=BN, 所以
∥
,所以
平面
------6分

（Ⅱ）

-----------------------12分

21．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）由题意：
且
，又

解得：
，即：椭圆E的方程为
（1）

（Ⅱ）设

（*）

所以
--------------------------------------------------7分

-----------------------------------9分

由
，

得
----------11分

又方程（*）要有两个不等实根，

所以
------------------------------------------12分

22. （本小题满分12分）

解：（Ⅰ）
---------------------------------------------------------2分

当
，
，函数递增区间是

当
，递增区间是

当
，递增区间是
--------------------------------------------------------6分

（Ⅱ） 因为
，所以

所以无论
，还是
，只需
就能使得
是函数
在区间

上的最大值， --------------------------------------------------------------------8分

化简得

令

所以
的取值范围是
． ------------------------------------------------------------12分