吉林市2015届高三第一次摸底考试

数学理试题

一、选择题：本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求．

1．计算：
=（　　）

　 A． i+1 B． i﹣1 C． ﹣i+1 D． ﹣i﹣1

2．已知A?B，A?C，B={1，2，3，5}，C={0，2，4，8}，则A可以是（　　）

　 A． {1，2} B． {2，4} C． {2} D． {4}

3．已知条件p：x2﹣2ax+a2﹣1＞0，条件q：x＞2，且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围是（　　）

　 A． a≥1 B． a≤1 C． a≥﹣3 D． a≤﹣3

4．某程序图如图所示，该程序运行后输出的结果是（　　）

　 A． 3 B． 4 C． 5 D． 6

5．已知某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为
．则该几何体的俯视图可以是（　　）

6．将函数f（x）=2sin（
+
）的图象向左平移
个单位，再向下平移1个单位，得到函数g（x）的图象，则g（x）的解析式为（　　）

　 A． g（x）=2sin（
+
）﹣1 B． g（x）=2sin（
﹣
）+1

C． g（x）=2sin（
﹣
）+1 D． g（x）=2sin（
﹣
）﹣1

7． 已知等差数列{an}的公差为2，若前17项和为S17=34，则a12的值为（　　）

　 A． 8 B． 6 C． 4 D． 2

8．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若b2﹣c2=
ac，sinA=2
sinC，则B=（　　）

　 A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°

9． 在（x﹣
）8的二项展开式中，常数项为（　　）

　 A． 1024 B． 1324 C． 1792 D． ﹣1080

10．已知双曲线
﹣
=1（a＞0，b＞0）的左顶点与抛物线y2=2px的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（﹣2，﹣1），则双曲线的焦距为（　　）

　 A． 2
B． 2
C． 4
D． 4

11． △ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，D是边BC上的一点（包括端点），则
?
的取值范围是（　　）

　 A． [1，2] B． [0，1] C． [0，2] D． [﹣5，2]

12． 对函数f（x），若?a，b，c∈R，f（a），f（b），f（c）为一三角形的三边长，则称f（x）为“三角型函数”，已知函数f（x）=
（m＞0）是“三角型函数”，则实数m的取值范围是（　　）

　 A． [1，4] B． [0，2] C． [2，4] D． [1，2]

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13． 已知x，y满足不等式组
，则目标函数z=2x+y的最大值为　_________　．

14．已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，则下列四个命题：

①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；　④l⊥m?α∥β

其中正确命题的序号是　_________　．

15． 若动直线x=a与函数f（x）=sinxcosx和g（x）=cos2x的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为　_________　．

16． 若数列{an}满足a1=2，an+1=
（n∈N*），则该数列的前2014项的乘积a1?a2?a3?…a2014=　_________　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）已知△ABC中，a，b，c为角A，B，C所对的边，3bcosA=ccosA+acosC．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）若△ABC的面积为2
，a=3，求b，c的长．

18．（12分）已知数列{an}是公差大于零的等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1=1，b1=2，b2﹣a2=1，a3+b3=13

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式

（Ⅱ）设cn=anbn，求数列{cn}前n项和Tn．

19．（12分）一企业某次招聘新员工分笔试和面试两部分，人力资源部经理把参加笔试的40名学生的成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100），得到频率分布直方图如图所示

（Ⅰ）分别求成绩在第4，5组的人数

（Ⅱ）若该经理决定在笔试成绩较高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名进入面试，

①已知甲和乙的成绩均在第3组，求甲和乙同时进入面试的概率

②若经理决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，设第4组中有X名学生被考官D面试，求X的分布列和数学期望．

20．（12分）一个多面体的直观图（图1）及三视图（图2）如图所示，其中M，N分别是AF、BC的中点

（Ⅰ）求证：MN∥平面CDEF：

（Ⅱ）求二面角A﹣CF﹣B的余弦值；

21．（12分）已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的离心率e=
，并且经过定点P（
，
）．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）问是否存在直线y=﹣x+m，使直线与椭圆交于A、B两点，满足OA⊥OB，若存在求m值，若不存在说明理由．

22．（12分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．

（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；

（Ⅱ）求f（x）的单调区间；

（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．

数 学（理科）参考答案与评分标准

一、选择题：

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



C

D

B

C

A

A

B

A

C

A

D

A



二、填空题：

13．6 14. ①③ 15.
16. - 6

三、解答题：

17．解：（Ⅰ）由正弦定理得：

----------------------------------------------------------------------5分

（Ⅱ）由题意得：
，即：
------------------ 7分

由余弦定理得：

联立上述两式,解得：
或
. ---------------------------10分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设数列
的公差为
，数列
的公比为

由已知得：
，解得：
--------------------3分

因为
，所以
，

即
------------------------------------------6分

（Ⅱ）

（2）－（1）得：

---------------------------------12分

19．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）第4组学生人数为
，第5组人数为

所以第4，5组的学生人数分别为8人，4人 -----------------------------------------4分

（Ⅱ）①因为第3组学生人数为
，所以第3，4，5中抽取的人数分别是

3人，2人，1人，则甲，乙同时进入面试的概率为
---------------------8分

②由①知，X的可能取值为0，1，2

所以

X

0

1

2



P









X分布列为

--------------------------------------------- 12分

20．（本小题满分12分）

解（1）证明：由三视图知，该多面体是底面为直角三角形的直三棱柱ADE-BCF,且AB=BC=BF=4,DE=CF=
,

,连结BE, M在BE上，连结CE

EM=BM,CN=BN, 所以
∥
,所以
平面
------5分

（II）

--------------------------------------9分

-------------------------------------------------------12分

（II）另解：以EA,AB,AD所在直线为x轴,y轴,z轴建立空

间直角坐标系，

所以

面CBF法向量为

-----------------8分

设面ACF法向量为
，

取
，所以

设二面角
为
，
-----------12分

21．（本小题满分12分）

解（Ⅰ）由题意：
且
，又

解得：
，即：椭圆E的方程为
------------------5分

（Ⅱ）设

（*）

所以
--------------------------------------------------7分

-----------------------------------9分

由

得
----------11分

又方程（*）要有两个不等实根，

m的值符合上面条件，所以
------------------------------------------12分

22．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由已知
，
，所以斜率
，

又切点
，所以切线方程为
)，即

故曲线
在
处切线的切线方程为
。 -----------------4分

（Ⅱ）

①当
时，由于
，故
，
，所以
的单调递增区间为
. ---------------------------------------------6分

②当
时，由
，得
.

在区间
上，
，在区间
上，
，

所以，函数
的单调递增区间为
，单调递减区间为
. --------8分

（3）由已知，转化为
.
，所以

由(2)知，当
时，
在
上单调递增，值域为
，故不符合题意.

(或者举出反例：存在
，故不符合题意.)

当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，

故
的极大值即为最大值，
，

所以
， 解得
. -----------------------12分