桂林十八中12级高三第二次月考试卷

理科数学

命题人：霍荣友 审题人： 周艳梅

注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．

考试时间：120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2、选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上．

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ⅰ卷 （共60分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合
，集合
，则

A.
B.
C.
D.

2．已知复数
，则复数
的共轭复数等于

A．
　　 　B．
C．
D．

3．函数
的一条对称轴方程为

A．
　 B．
C．
D．

4．已知两个单位向量
的夹角为60°，
，若
，则

A．2 B．3 C．
D．4

5
. A．
B．
C．
D．

6.高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为

A．
B．
C．
D．

7．
展开式的第三项为10，则
关于
的函数图象的大致形状为

8． 我们知道，在边长为
的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值
，类比上述结论，在棱长为
的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为

　A ．
B．
C ．
D ．

9．执行如图所示的程序框图，如果输入的
那么输出的S的最大值为

A． 0 B．1 C．2 D．3

10．已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零点个数为

A．1 B．2 　 C．3 　D．与a有关

11．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4
，

该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1:V2等于

A．1:2 B．2:1 C．1:1 D．1:4

12.一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度
(
的单位:
,

的单位:
)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位;
)是

A．
B．
C．
D．

Ⅱ卷 （共90分）

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）

13．正三棱柱
的所有棱长均为2，
．

已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为
，双曲线C2的方程为
， C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为
，则k= ．

15. 某次测量发现一组数据
具有较强的相关性，并计算得
，其中数据
因书写不清，只记得
是
任意一个值，则该数据对应的残差的绝对值不大于１的概率为 ．

（残差=真实值-预测值）

定义在
上的函数
，其图象是连续不断的，如果存在非零常数
（
），使得对任意的
，都有
，则称
为“倍增函数”，
为“倍增系数”，

下列命题为真命题的是_　　　　　__　（写出所有真命题对应的序号）．

①若函数
是倍增系数
的倍增函数，则
至少有1个零点；

②函数
是倍增函数，且倍增系数
；

③函数
是倍增函数，且倍增系数
；

④
.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.

(1)求cos∠CAD的值；

(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．

18. （本小题满分12分）

(2)若a1＝1，函数f(x)的图像在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－ ，

求数列
的前n项和Tn.

19．（本小题满分12分）某校高三年级有男学生105人，女学生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查，设其中某项问题的选择，分别为“同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

（1）完成此统计表；

同意

不同意

合计



教师

1







女学生



4





男学生



2





（2）估计高三年级学生“同意”的人数；

（3）从被调查的女学生中选取2人进行访谈，

设“同意”的人数为
，求
．

20．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，

，
.

（1）求二面角
的余弦值；

（2）设
为棱
上的点，满足直线
与平面
所成角的正弦值为
，求
的长.

21．（本小题满分12分）

设椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

22．（本小题满分12分）已知函数

为自然对数的底数）．

（１）求曲线
在
处的切线方程；

（２）若
是
的一个极值点，且点
，
满足条件：
.（ⅰ）求
的值；（ⅱ）若点
， 判断
三点是否可以构成直角三角形？请说明理由.

桂林十八中12级高三第二次月考试卷

理科数学答案

一、选择题答案

BBDADA DADBAC

二、填空题答案

13．
14．
15.
16. ① ③

选择题提示:

8.本题考查微积分的基本应用。由v(t)=7-3t+
=0，解得
，所以所求的路程为
，选C.

11.三视图【答案】A

依题意，原几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥.球的体积
，

几何体的体积
，
，选A.

16．∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，∴f（x-2）=-2f（x），当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，若f（0），f（-2）任一个为0，函数f（x）有零点．若f（0），f（-2）均不为零，则f（0），f（-2）异号，由零点存在定理，在（-2，0）区间存在x0，

f（x0）=0，即y=f（x）至少有1个零点，故①正确；

∵f（x）=2x+1是倍增函数，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴λ=
故②不正确；∵

，
∈（0，1），故③正确；∵f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，∴sin[2ω（x+λ）]=λsin（2ωx），
（k∈N*)．

故④不正确．故答案为：①③．

三、解答题

17. 解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得

cos∠CAD＝，

故由题设知，cos∠CAD＝＝. …………………………………5分

(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD. 因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－，

所以sin∠CAD＝＝ ＝，

sin∠BAD＝＝＝.

于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD) ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD

　　 ＝×－× ＝.

在△ABC中，由正弦定理，得＝. 故BC＝＝＝3.

18．解：(1)由已知得，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，所以

2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2，

所以Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n. …………………………………5分

(2)函数f(x)＝2x在点(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，

其在x轴上的截距为a2－ .

由题意有a2－＝2－，解得a2＝2.

所以d＝a2－a1＝1. 从而an＝n，bn＝2n，

所以数列{}的通项公式为＝，

所以Tn＝＋＋＋…＋＋，2Tn＝＋＋＋…＋，

因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－＝2－－＝.

所以，Tn＝.

19．【解】（1）

同意

不同意

合计



教师

1

1

2



女学生

2

4

6



男学生

3

2

5



…………………………………4分

（2）
（人）…………………………………7分

（3）

答：

20．解：（Ⅰ）分别以
所在直线为
轴建立空间直角坐标系，

平面
的法向量
，

由已知得，
，
，
,
,

设平面
的法向量为
，

则
，即
取

，………………5分

∴二面角
的余弦值为
；………………6分

（Ⅱ）设
，则
，………………7分

由（Ⅰ）知平面
的法向量
,由于直线
与平面
所成角的正弦值为
，

所以
，

得
，
，
，即
的长等于
．………………12分

21、解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．

由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2. 又b2＝a2－c2，则＝，

所以椭圆的离心率e＝. 4分

(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为＋＝1.

设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．

由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0. 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①

又因为点P在椭圆上， 所以＋＝1.②

由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.代入①得y0＝，

即点P的坐标为.

设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.

设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±，

所以直线l的斜率为4＋或4－.

22．（Ⅰ）