桂林十八中12级高三第二次月考试卷

文科数学

命题人：霍荣友 审题人： 周艳梅

注意：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．

考试时间：120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名和考号填写或填涂在答题卷指定的位置。

2、选择题答案用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试题卷上．

3、主观题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卷上作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ⅰ卷 （共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合A＝{0，1，2，4}，B＝{1，2，3}，则

A．{0，1，2，3，4} B．{0，4} C．{1，2} D．{3}

2．已知复数
，则复数
等于

A．
　　 　B．
C．
D．

3．已知角
的终边经过点
，则
＝

A. B. C．－ D．－

4．函数y＝3sin的一条对称轴方程为

A．
　 B．
C．
D．

5．设
则

A．
B．
C．
D．

6．已知两个单位向量
的夹角为60°，
，若
，则t=

A．2 B．3 C．
D．4

7.

A．4 B．8 C．10 D．14

8．从{2，3，4}中随机选取一个数
，从{2，3，4}中随机选取一个数
，则
的概率是

A.
B.
C．
D.

9．我们知道，在边长为
的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值
，类比上述结论，在棱长为
的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值，此定值为

　A．
B．
C．
D．

10．已知a＞0，且a≠1，则函数f(x)＝ax＋(x－1)2－2a的零点个数为

A． 1 B．2 C．3 D. 与a有关

11．执行如图所示的程序框图，如果输入的
那么输出的S的最大值为

A． 0 B．1 C．2 D.3

12．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中圆的直径为4
，

该几何体的体积为V1，直径为4的球的体积为V2，则V1:V2等于

A．1:2 B．2:1 C．1:1 D．1:4

Ⅱ卷 （共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．把答案填在题中横线上．

13．在等差数列
中，
，
，则
．

14．正三棱柱
的所有棱长均为2，
．

15. 函数
的最大值为________．

定义在Ｒ上的函数
，其图象是连续不断的，如果存在非零常数
（
），使得对任意的
，都有
，则称
为“倍增函数”，
为“倍增系数”，

下列命题为真命题的是 （写出所有真命题对应的序号）．

①若函数
是倍增系数
的倍增函数，则
至少有1个零点；

②函数
是倍增函数，且倍增系数
；

③函数
是倍增函数，且倍增系数
；

④
.

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17. (本小题满分10分)

如图所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝.

(1)求cos∠CAD的值；

(2)若cos∠BAD＝－，sin∠CBA＝，求BC的长．

18. （本小题满分12分）

已知
是递减的等差数列，
是方程
的根．

(1)求
的通项公式；

(2)求数列
的前n项和．

同意

不同意

合计



教师

1







女学生



4





男学生



2





 19．（本小题满分12分）某校高三年级有男学生105人，女学生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人进行问卷调查，设其中某项问题的选择，分别为“同意”、“不同意”两种，且每人都做了一种选择，下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．

（1）完成此统计表；

（2）估计高三年级学生“同意”的人数；

（3）从被调查的女学生中选取2人进行访谈，求选到

两名学生中恰有一人“同意”，一人“不同意”的概率．

20．（本小题满分12分）

　如图，在三棱柱ABC -A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点．

(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求证：C1F∥平面ABE；

(3)求三棱锥E — ABC的体积．

21．（本小题满分12分）

设椭圆
的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B.已知|AB|＝|F1F2|.

(1)求椭圆的离心率；

(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切，求直线l的斜率．

22．（本小题满分12分）

已知函数
，其中
，e＝2.718 28…为自然对数的底数．

(1)设
是函数
的导函数，求函数
在区间
上的最小值；

(2)若
，函数
在区间
内有零点，证明：
.

桂林十八中12级高三第二次月考试卷

文科数学答案

一、选择题答案

CADDC ADCAB DA

12.三视图【答案】A

提示:12。依题意，原几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥.球的体积
，

几何体的体积
，
，选A.

二、填空题答案

13．8 14 .
15.
16. ①③

16．∵函数y=f（x）是倍增系数λ=-2的倍增函数，∴f（x-2）=-2f（x），当x=0时，f（-2）+2f（0）=0，若f（0），f（-2）任一个为0，函数f（x）有零点．若f（0），f（-2）均不为零，则f（0），f（-2）异号，由零点存在定理，在（-2，0）区间存在x0，

f（x0）=0，即y=f（x）至少有1个零点，故①正确；

∵f（x）=2x+1是倍增函数，∴2（x+λ）+1=λ（2x+1），∴λ=
故②不正确；∵

，
∈（0，1），故③正确；∵f（x）=sin（2ωx）（ω＞0）是倍增函数，∴sin[2ω（x+λ）]=λsin（2ωx），
（k∈N*)．

故④不正确．故答案为：①③．

三、解答题

17．解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得

cos∠CAD＝， 故由题设知，cos∠CAD＝＝. ……………………5分

(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.

因为cos∠CAD＝，cos∠BAD＝－， 所以sin∠CAD＝＝

＝，

sin∠BAD＝＝＝.

于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)

　 ＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD

　　 ＝×－×　　 ＝.

在△ABC中，由正弦定理，得＝.故BC＝＝＝3.

18．解：(1)方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.

由题意得a2＝3，a3＝2.

设数列{an}的公差为d，则a3－a2＝d，

故d＝－1，从而得a1＝4.

所以{an}的通项公式为an＝－n+5 …………………………………5分

(2)设的前n项和为Sn，由(1)知
，

则

两式相减得

即

　　　　　得

19． 【解】（1）

同意

不同意

合计



教师

1

1

2



女学生

2

4

6



男学生

3

2

5



…………………………………4分

（2）
（人） …………………………………7分

（3）设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的编号为3，4，5，6

选出两人共有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种结果，

其中恰有一人“同意”，一人“不同意”的（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6）共8种结果满足题意.每个结果出现的可能性相等，所以恰好有1人“同意”，一人“不同意”的概率为
.

20．解：(1)证明：在三棱柱ABC - A1B1C1中，BB1⊥底面ABC，

所以BB1⊥AB. 又因为AB⊥BC， 所以AB⊥平面B1BCC1.

所以平面ABE⊥平面B1BCC1. …………………………………4分

(2)证明：取AB的中点G，连接EG，FG.

因为E，F，G分别是A1C1，BC，AB的中点 ，

所以FG∥AC，且FG＝AC，EC1＝A1C1.

因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，所以FG∥EC1，且FG＝EC1，

所以四边形FGEC1为平行四边形，所以C1F∥EG.

又因为EG?平面ABE，C1F?平面ABE，

所以C1F∥平面ABE. …………………………………8分

(3)因为AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC，

所以AB＝＝.

所以三棱锥E - ABC的体积

V＝S△ABC·AA1＝×××1×2＝.

21．解：(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．

由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2. 又b2＝a2－c2，则＝，

所以椭圆的离心率e＝. …………………………………4分

(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2. 故椭圆方程为＋＝1.

设P(x0，y0)．由F1(－c，0)，B(0，c)， 有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．

由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.

又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.①

又因为点P在椭圆上，所以＋＝1.②

由①和②可得3x＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.代入①得y0＝，

即点P的坐标为.

设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c，进而圆的半径r＝＝c.

设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.由l与圆相切，可得＝r，即＝c，整理得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±，

所以直线l的斜率为4＋或4－.

22．解：(1)由f(x)＝ex－ax2－bx－1，得g(x)＝f′(x)＝ex－2ax－b，所以g′(x)＝ex－2a.

当x∈[0，1]时，g′(x)∈[1－2a，e－2a]．

当a≤时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，1]上单调递增，

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；

当a≥时，g′(x)≤0，所以g(x)在[0，1]上单调递减，

因此g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b；

当＜a＜时，令g′(x)＝0，得x＝ln(2a)∈(0，1)，

所以函数g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增，

于是，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.

综上所述，当a≤时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(0)＝1－b；

当＜a＜时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b；

当a≥时，g(x)在[0，1]上的最小值是g(1)＝e－2a－b. …………………………………5分

(2)证明：设x0为f(x)在区间(0，1)内的一个零点，则由f(0)＝f(x0)＝0可知，

f(x)在区间(0，x0)上不可能单调递增，也不可能单调递减．

则g(x)不可能恒为正，也不可能恒为负．

故g(x)在区间(0，x0)内存在零点x1.

同理g(x)在区间(x0，1)内存在零点x2.故g(x)在区间(0，1)内至少有两个零点．

由(1)知，当a≤时，g(x)在[0，1]上单调递增，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点；

当a≥时，g(x)在[0，1]上单调递减，故g(x)在(0，1)内至多有一个零点，都不合题意．

所以＜a＜.

此时g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1]上单调递增．

因此x1∈(0，ln(2a))，x2∈(ln(2a)，1)，必有

g(0)＝1－b＞0，g(1)＝e－2a－b＞0.

由f(1)＝0有a＋b＝e－1<2，有

g(0)＝a－e＋2>0，g(1)＝1－a>0.

解得e－2＜a＜1.

所以，函数f(x)在区间(0，1)内有零点时，e－2＜a＜1.