武汉市2015届高三9月调研测试数学（理科）

2014.9.5

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．＝

A．－1－i B．－1＋i C．1＋i D．1－i

2．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A?B”的

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

3．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数＝3，＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是

A．＝0.4x＋2.3 B．＝2x－2.4 C．＝－2x＋9.5 D．＝－0.3x＋4.4

4．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝

A． B．2 C．3 D．4

5．若一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为

A．

B．5

C．

D．4

6．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于

A． B． C． D．

7．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为

A．或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1

8．如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，则a9＝

A． B． C．5 D．2

9．已知F为抛物线y2＝x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·＝2（其中O为坐标原点），则△AFO与△BFO面积之和的最小值是

A． B． C． D．

10．已知函数f(x)＝x2＋ex－（x＜0）与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是

A．(－∞，) B．(－∞，) C．(－，) D．(－，)

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．

11．设二项式(－)5的展开式中常数项为A，则A＝ ．

12．如果执行如图所示的程序框图，输入x＝－1，n＝3，则输出的数S＝ ．

13．正方形的四个顶点A(－1，－1)，B(1，－1)，C(1，1)，D(－1，1)分别在抛物线y＝－x2和y＝x2上，如图所示．若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ．

14．已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝ ．

15．平面几何中有如下结论：如图1，设O是等腰Rt△ABC底边BC的中点，AB＝1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有＋＝2．类比此结论，将其拓展到空间有：如图2，设O是正三棱锥A-BCD底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB＝1，过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有 ．

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)＝cosx(sinx＋cosx)－．

（Ⅰ）若sin(＋α)＝，且0＜α＜π，求f(α)的值；

（Ⅱ）当f(x)取得最小值时，求自变量x的集合．

17．（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．

（Ⅰ）证明：an＋2－an＝λ；

（Ⅱ）当λ为何值时，数列{an}为等差数列？并说明理由．

18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连结GH．

（Ⅰ）求证：AB∥GH；

（Ⅱ）求平面PAB与平面PCD所成角的正弦值．

19．（本小题满分12分）

在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：

（Ⅰ）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；

（Ⅱ）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．

20．（本小题满分13分）

如图，动点M与两定点A(－1，0)，B(2，0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB．设动点M的轨迹为C．

（Ⅰ）求轨迹C的方程；

（Ⅱ）设直线y＝－2x＋m（其中m＜2）与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q，R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．

21．（本小题满分14分）

已知函数f(x)＝ax＋xlnx的图象在点x＝e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．

（Ⅰ）求实数a的值；

（Ⅱ）若f(x)≤kx2对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）当n＞m＞1（m，n∈N*）时，证明：＞．

武汉市2015届高三9月调研测试

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题

1．B 2．A 3．A 4．C 5．D

6．B 7．D 8．C 9．B 10．B

二、填空题

11．－10 12．－4 13． 14．8 15．＋＋＝3

三、解答题

16．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵0＜α＜π，∴＜＋α＜． …………………2分

∵sin(＋α)＝，∴＋α＝，即α＝． …………………4分

∴f(α)＝cosα(sinα＋cosα)－＝cos(sin＋cos)－＝－．……………………6分

（Ⅱ）f(x)＝sinxcosx＋cos2x－＝sin2x＋－ …………………7分

＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)． …………………8分

当2x＋＝2kπ－，k∈Z，

即x＝kπ－，k∈Z时，f(x)取得最小值， …………………10分

此时自变量x的集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}．………………………………12分

17．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1． …………………2分

两式相减，得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1． …………………3分

由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ．…………………………………………………4分

（Ⅱ）由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1． …………………5分

由（Ⅰ）知，a3＝λ＋1．

令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4． …………………6分

故an＋2－an＝4，由此可得

{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；…………………7分

{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1．…………………8分

所以an＝2n－1，an＋1－an＝2． …………………10分

因此当λ＝4时，数列{an}为等差数列．………………………………………12分

18．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）∵D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，…………………1分

∴EF∥AB，DC∥AB， …………………2分

∴EF∥DC．

又EF ?平面PCD，DC?平面PCD，

∴EF∥平面PCD． …………………3分

又EF ?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH，…………………4分

∴EF∥GH．

又EF∥AB，

∴AB∥GH．…………………………………………………………………………6分

（Ⅱ）在△ABQ中，∵AQ＝2BD，AD＝DQ，∴∠ABQ＝90°，即AB⊥BQ．

又PB⊥平面ABQ，∴BA，BQ，BP两两垂直．

以B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设BA＝BQ＝BP＝2，则B(0，0，0)，Q(0，2，0)，D(1，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，2)，(注：坐标写对给2分)

∴＝(－1，－1，2)，＝(0，－1，2)．…………………8分

设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)，

由n·＝0，n·＝0，得

取z＝1，

得n＝(0，2，1)．…………………10分

又＝(0，2，0)为平面PAB的一个法向量，

∴cos＜n，＞＝＝＝．

故平面PAB与平面PCD所成角的正弦值为．………………………………12分

19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设A表示事件“作物产量为300kg”，B表示事件“作物市场价格为6元/kg”，

由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4．（注：基本事件叙述各1分）2分

∵利润＝产量×市场价格－成本，

∴X所有可能的取值为

500×10－1000＝4000，500×6－1000＝2000，

300×10－1000＝2000，300×6－1000＝800． …………………4分

P(X＝4000)＝P()P()＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，

P(X＝2000)＝P()P(B)＋P(A)P()＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5，

P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2．

∴X的分布列为

X

4000

2000

800



P

0.3

0.5

0.2



……………………………………………………………6分（注：每个概率1分）

（Ⅱ）设Ci表示事件“第i季利润不少于2000元”（i＝1，2，3），…………8分

由题意知C1，C2，C3相互独立，由（Ⅰ）知，

P(Ci)＝P(X＝4000)＋P(X＝2000)＝0.3＋0.5＝0.8（i＝1，2，3）．

∴这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率为

P＝C×0.83＋C×0.82×0.2＝0.512＋0.384＝0.896．…………………………12分

20．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设M的坐标为(x，y)，显然有x＞0，且y≠0．…………………1分

当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．…………………2分

当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有

tan∠MBA＝，即－＝，…………………4分

化简可得，3x2－y2－3＝0．

而点(2，±3)在曲线3x2－y2－3＝0上，…………………5分

综上可知，轨迹C的方程为x2－＝1（x＞1）．………………………………6分

（Ⅱ）由消去y并整理，得x2－4mx＋m2＋3＝0．（*）…………7分

由题意，方程（*）有两根且均在(1，＋∞)内．设f(x)＝x2－4mx＋m2＋3，

∴解得m＞1，且m≠2．……………9分

∵m＜2，∴1＜m＜2． …………………10分

设Q，R的坐标分别为(xQ，yQ)，(xR，yR)，由|PQ|＜|PR|及方程（*）有

xR＝2m＋，xQ＝2m－，

∴＝＝＝＝－1＋．

由1＜m＜2，得1＜－1＋＜7．…………………12分

故的取值范围是(1，7)．……………………………………………………13分

21．（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）求导数，得f ′(x)＝a＋lnx＋1． …………………1分

由已知，得f ′(e)＝3，即a＋lne＋1＝3

∴a＝1．……………………………………………………………………………2分

（Ⅱ）由（Ⅰ），知f(x)＝x＋xlnx，

∴f(x)≤kx2对任意x＞0成立?k≥对任意x＞0成立，……………4分

令g(x)＝，则问题转化为求g(x)的最大值．

求导数，得g′(x)＝－，令g′(x)＝0，解得x＝1．…………………5分

当0＜x＜1时，g′(x)＞0，∴g(x)在(0，1)上是增函数；

当x＞1时，g′(x)＜0，∴g(x)在(1，＋∞)上是减函数．…………………6分

故g(x)在x＝1处取得最大值g(1)＝1．

∴k≥1即为所求．…………………………………………………………………8分

（Ⅲ）令h(x)＝，则h′(x)＝．…………………9分

由（Ⅱ），知x≥1＋lnx（x＞0），∴h′(x)≥0，…………………10分

∴h(x)是(1，＋∞)上的增函数．

∵n＞m＞1，∴h(n)＞h(m)，即＞，…………………11分

∴mnlnn－nlnn＞mnlnm－mlnm，…………………12分

即mnlnn＋mlnm＞mnlnm＋nlnn，

即lnnmn＋lnmm＞lnmmn＋lnnn，

即ln(mnn)m＞ln(nmm)n， …………………13分

∴(mnn)m＞(nmm)n，

∴＞．…………………………………………………………………………14分